XLI OM - III - Zadanie 5

Dany jest taki ciąg liczb naturalnych $ (a_n) $, że $ \lim_{n\to \infty} \frac{n}{a_n} = 0 $.

Udowodnić, że istnieje taka liczba $ k $, dla której między liczbami $ a_1 + a_2 + \ldots + a_k $ oraz $ a_1 + a_2 + \ldots + a_k + a_{k+1} $ znajduje się co najmniej 1990 kwadratów liczb naturalnych.

Rozwiązanie

Oznaczmy:

\[<br />
s_n = a1+a_2 + ldots + a_n, \quad r_n = \sqrt{s_{n+1}} - \sqrt{s_n} > 0.<br />
\]

Oszacujemy z dołu wyrazy ciągu ($ r_n $). Dla $ n > i $ mamy

\[<br />
\begin{split}<br />
(1) \qquad r_{n-1} = \sqrt{s_n} - \sqrt{s_{n-1}} & =<br />
\frac{s_n - s_{n-1}}{\sqrt{s_n} + \sqrt{s_{n-1}}} = \\<br />
& = \frac{a_n}{\sqrt{s_n} + \sqrt{s_{n-1}}} > \frac{a_n}{2\sqrt{s_n}}.<br />
\end{split}<br />
\]

Z założenia zadania wynika, że ciąg ($ a_n/n $) dąży do nieskończoności; tym bardziej i sam ciąg ($ a_n $) dąży do nieskończoności. Zatem dla nieskończenie wielu $ n $ zachodzi nierówność

\[<br />
(2) \qquad a_n \geq \max \{a_1,a_2,\ldots,a_n\}.<br />
\]

Niech $ n $ będzie jednym z tych wskaźników, dla których (2) zachodzi. Mamy wówczas, zgodnie z (1),

\[<br />
\left( \frac{1}{2r_{n-1}} \right)^2 < \frac{s_n}{a_n^2} = \frac{1}{a_n} \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{a_n} \leq \frac{1}{a_n} \sum_{k=1}^n 1 = \frac{n}{a_n}.<br />
\]

Nierówność ta zachodzi dla nieskończenie wielu $ n $. Ponieważ zaś ciąg ($ n/a_n $) dąży do zera, dostajemy wniosek, że pewien podciąg ciągu ($ r_n $) dąży do nieskończoności.

Istnieje wobec tego taki numer $ k $, że $ r_k> 1990 $. Znaczy to, że długość przedziału $ (\sqrt{s_k};\sqrt{s_{k+1}}) $ przekracza $ 1990 $. W takim przedziale można znaleźć $ 1990 $ liczb naturalnych. Ich kwadraty leżą w przedziale $ (s_k;s_{k+1}) $. Znalezienie przedziału tej postaci i o tej własności było właśnie treścią zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź