XLI OM - I - Zadanie 9

Rozstrzygnąć, czy istnieje taki wielomian $ W(x) $ o współczynnikach wymiernych, że dla każdego całkowitego $ k $ wartość $ W(3k+1) $ jest liczbą całkowitą nieparzystą, a $ W(3k+2) $ — liczbą całkowitą parzystą.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że

\[<br />
W(x)=\sum_{j=0}^n a_j x^j<br />
\]

jest wielomianem, o jakim mowa w zadaniu. Zgodnie z postawionym warunkiem, każdy ze współczynników $ a_j $ jest liczbą wymierną:

\[<br />
a_j = \frac{p_j}{q_j} \quad (p_j, q_j \ \textrm{całkowite},  q > 0).<br />
\]

Mianownik $ q_j $ zapiszmy w postaci

\[<br />
q_j=2^{\alpha_j} m_j<br />
\left(<br />
\begin{array}{rl}<br />
\alpha \geq 0 & \textrm{całkowite}, \\<br />
m_j > 0 &  \textrm{całkowite meparzyste}.<br />
\end{array}<br />
\right)<br />
\]

Przyjmijmy $ m = m_0 m_1 \ldots m_n $ oraz ustalmy liczbę naturalną $ \alpha $ większą od wszystkich wykładników $ \alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_n $. Weźmy pod uwagę liczbę

\[<br />
M = m \cdot (W(2^{\alpha+1}) - W(2^\alpha)).<br />
\]

Dokładnie jedna spośród liczb $ 2^\alpha, 2^{\alpha+1} $ daje przy dzieleniu przez $ 3 $ resztę $ 1 $, druga zaś - resztę $ 2 $. W myśl warunku zadania, wartości $ W(2^\alpha) $, $ W(2^{\alpha+1}) $ są więc liczbami całkowitymi różnej parzystości. Wobec tego $ M $ jest liczbą całkowitą nieparzystą.

Zachodzi wszelako równość

\[<br />
\begin{split}<br />
M & = m \cdot \sum_{j=0}^n \frac{p_j}{m_j} 2^{-\alpha_j} ((2^{\alpha+1})^j-(2^\alpha)^j) =\\<br />
& = \sum_{j=0}^n p_j \cdot \frac{m}{m_j} (2^{j\alpha+j}-\alpha_j - 2^{j\alpha-\alpha_j})<br />
\end{split}<br />
\]

Dla $ j = 0 $ wyrażenie w ostatnim nawiasie jest zerem; dla $ j > 0 $ wyrażenie to jest różnicą dwóch potęg dwójki o wykładnikach całkowitych dodatnich, a więc różnicą liczb parzystych. Czynniki $ p_j $ oraz $ m/m_j $ są całkowite. Wynikałoby stąd, że $ M $ jest liczbą parzystą - wbrew temu, co wykazaliśmy chwilę wcześniej.

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że wielomian o podanych własnościach nie istnieje.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź