LIX OM - I -Zadanie 8

Dany jest ostrosłup czworokątny $ ABCDS $ o podstawie czworokąta wypukłego $ ABCD $. Sfera wpisana w ten
ostrosłup jest styczna do ściany $ ABCD $ w punkcie $ P $. Dowieść, że

\[<br />
\measuredangle  APB + \measuredangle  CPD = 180^{\circ}.<br />
\]

Rozwiązanie

Sposób I

Oznaczmy przez $ K, L, M, N $ punkty styczności rozpatrywanej sfery odpowiednio ze ścianami
$ SDA, SAB, SBC, SCD $. Niech ponadto $ K', L', M', N' $ będą odpowiednio punktami przecięcia prostych
$ SK, SL, SM, SN $ z płaszczyzną $ ABCD $.

Z równości $ KS = SL $ oraz $ AK = AL $ wynika, że trójkąty $ AKS $ i $ ALS $ są przystające. A zatem

\[<br />
(1)\qquad \measuredangle AKK' = 180^{\circ} -\measuredangle AKS = 180^{\circ} -\measuredangle ALS = \measuredangle ALL' .<br />
\]

Z kolei z równości $ K'K = K'P $ oraz $ AK = AP $ wynika, że trójkąty $ AKK' $ oraz $ APK $ są przystające.
Wobec tego $ \measuredangle AKK' = \measuredangle APK' $. Analogicznie dowodzimy, że $ \measuredangle ALL' = \measuredangle APL' $.

Łącząc ostatnie dwie równości z zależnością (1) uzyskujemy

\[<br />
\measuredangle APK' = \measuredangle APL' = \alpha.<br />
\]

Rozumując podobnie dostajemy (rys. 2)

\[<br />
\measuredangle BPL' = \measuredangle BPM' = \beta,\quad<br />
\measuredangle CPM' = \measuredangle CPN' = \gamma, \quad<br />
\measuredangle DPN' = \measuredangle DPK' = \delta.<br />
\]

om59_1r_img_2.jpg

Wobec tego

\[<br />
2\alpha +2\beta  +2\gamma +2\delta =<br />
\measuredangle K'PL' +\measuredangle L'PM' +\measuredangle M'PN' +\measuredangle N'PK' = 360^{\circ},<br />
\]

czyli $ \alpha+\beta  +\gamma +\delta = 180^{\circ} $. Pozostało zauważyć, że

\[<br />
\measuredangle APB +\measuredangle CPD =(\alpha +\beta )+(\gamma + \delta) = 180^{\circ},<br />
\]

co kończy rozwiązanie zadania.

Sposób II

Poprowadźmy przez punkt $ S $ wszystkie proste, które są styczne do danej sfery $ s $. Proste te wyznaczają
stożek $ t $, w który wpisana jest sfera $ s $. Część wspólna stożka $ t $ oraz płaszczyzny $ ABCD $ jest elipsą
$ e $ wpisaną w czworokąt $ ABCD $, której jednym z ognisk jest punkt $ P $ (zob. Szkoła geometrii. Odczyty
kaliskie — praca zbiorowa, Warszawa 1993).

Oznaczmy przez $ K, L, M, N $ punkty styczności elipsy $ e $ odpowiednio z bokami $ DA, AB, BC, CD $ (rys. 3).
Wówczas (zob. LI Olimpiada Matema­tyczna, Sprawozdanie Komitetu Głównego, Warszawa 2001, Dodatek B, str. 107, twierdzenie 3) otrzymujemy zależności

\[<br />
\measuredangle APK = \measuredangle APL, \quad<br />
\measuredangle BPL = \measuredangle BPM, \quad<br />
\measuredangle CPM = \measuredangle CPN, \quad<br />
\measuredangle DPN = \measuredangle DPK,<br />
\]

om59_1r_img_3.jpg

z których analogicznie jak w sposobie I wynika teza zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź