XL OM - I - Zadanie 2

Dla ustalonej liczby naturalnej $ n $ znaleźć liczbę rozwiązań równania

\[<br />
x^2 - [x^2] = (x - [x])^2<br />
\]

spełniających warunek $ 1 \leq x \leq n $.
Uwaga. $ [t] $ jest największą liczbą całkowitą nie większą od $ t $.

Rozwiązanie

Oznaczmy lewą i prawą stronę podanego równania przez $ L(x) $ i $ P(x) $. Przedstawiając liczbę rzeczywistą $ x $ w postaci $ x = k + r $, gdzie $ k = [x] $, $ r = x - [x] \in\langle 0; 1) $, możemy napisać:

\[<br />
\begin{split}<br />
L(x) &= k^2 + 2kr + r^2 - [k^2 + 2kr + r^2] =\\<br />
&= 2kr + r^2 - [2kr + r^2] ,\\<br />
P(x) &= r^2.<br />
\end{split}<br />
\]

Zatem $ L(x) = P(x) $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ [2kr + r^2] = 2kr $. Ta zaś równość jest równoważna stwierdzeniu, że $ 2kr $ jest liczbą całkowitą. Stąd wniosek, że liczba $ x = k + r $ ($ k $ całkowite, $ r \in \langle 0; 1) $) spełnia warunki zadania wtedy i tylko wtedy, gdy

\[<br />
(1) \qquad k \in \{1,\ldots , n - 1\} , \quad      2kr\  \textrm{całkowite}<br />
\]

lub

\[<br />
(2) \qquad k = n,   \quad   r = 0.<br />
\]

Dla ustalonej wartości $ k \in \{1,\ldots, n-1\} $ istnieje $ 2k $ wartości $ r \in \rangle 0; 1) $, dla których $ 2kr $ jest całkowite (mianowicie ułamki $ j/(2k) $, $ j = 0,1,\ldots, 2k-1 $). Wobec tego liczba par $ (k, r) $ spełniających warunki (1) wynosi $ 2 + 4 + \ldots + +2(n -1) = n^2 - n $. Warunki (2) spełnia tylko jedna taka para. Wszystkich liczb $ x $ spełniających warunki zadania jest więc $ n^2 - n + 1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź