XL OM - I - Zadanie 3

Trójkąty $ ABC $ i $ ABC' $ mają równo obwody, a dwusieczne kątów zewnętrznych przy wierzchołkach $ C $ i $ C' $ przecinają się w punkcie $ O $. Dowieść, że kąty $ AOC $ i $ BOC' $ są równe.

Rozwiązanie

Sumy $ |AC| + |BC| $ i $ |AC'| + |BC'| $ są równe; oznaczmy ich wspólną wartość przez $ s $. Na przedłużeniach odcinków $ AC $ i $ BC $ odkładamy odcinki $ CD $ i $ CE $ tak, by

\[<br />
(1) \qquad |AD| = |BE| = s.<br />
\]

Trójkąty $ BCD $ i $ AC'E $ są równoramienne, a punkt $ O $ leży na osi symetrii każdego z nich (rysunek 1). Zatem

\[<br />
(2) \qquad |OB| = |OD|, \quad    |OA| = |OE|<br />
\]

oraz

\[<br />
(3) \qquad |\measuredangle COD\ = |\measuredangle BOC|, \quad  |\measuredangle C'OE| = |\measuredangle AOC'|.<br />
\]

Na mocy (1) i (2) trójkąty $ AOD $ i $ EOB $ są przystające, a więc $ |\measuredangle AOD| = |\measuredangle EOB| $ , czyli $ |\measuredangle AOC| + |\measuredangle COD| = |\measuredangle BOC'| + |\measuredangle C'OE| $. Uwzględniając związki (3) możemy przepisać tę równość jako

\[<br />
(4) \qquad |\measuredangle AOC| + |\measuredangle BOC| = |\measuredangle BOC'| + |\measuredangle AOC'|.<br />
\]

Wykażemy teraz, że

\[<br />
(5) \qquad \textrm{punkty $A$ i $B$ leżą w obszarze kąta wypukłego $COC'$}.<br />
\]

Weźmy pod uwagę zbiór $ \mathcal{E} $ złożony z wszystkich punktów, których suma odległości od $ A $ i $ B $ równa się $ s $. Jest to elipsa. Warunek, który ją określa, jest spełniony w szczególności przez punkty $ C $ i $ C' $. Zatem $ C,C' \in \mathcal{E} $.
om40_1r_img_1.jpg
Zauważmy, że proste $ OC $ i $ OC' $ są styczne do elipsy $ \mathcal{E} $. Gdyby na przykład prosta $ OC $ nie była do niej Styczna, wówczas moglibyśmy znaleźć na tej prostej punkt $ Y $ taki, że $ |AY| + |BY| <s $. Ale $ |BY| = |DY| $ (bo $ OC $ jest symetralną odcinka $ BD $). Otrzymalibyśmy więc nierówność $ |AY| + |DY|  < s = |AD| $, która jest niemożliwa.

Podobnie dowodzimy styczności prostej $ OC' $ do elipsy $ \mathcal{E} $.

Ogniskami $ \mathcal{E} $ są punkty $ A $ i $ B $. Z uzyskanych relacji styczności wynika, że cała elipsa $ \mathcal{E} $ leży w sektorze wyznaczonym przez półproste $ OC^\to $ i $ OC'^\to $. Znajdują się tam więc i punkty $ A $ i $ B $. Stąd słuszność stwierdzenia (5).

Konkluzją tego stwierdzenia jest równość

\[<br />
(6) \qquad |\measuredangle AOC| + |\measuredangle AOC'| = |\measuredangle BOC| + |\measuredangle BOC'|.<br />
\]

Wszystkie przeprowadzone rozważania są słuszne przy każdej konfiguracji danych punktów. (Na przykład: punkty $ C $ i $ C' $ mogą leżeć po tej samej stronie lub po różnych stronach prostej $ AB $. Gdy leżą po tej samej stronie, odcinki $ AC $ i $ BC $ mogą się przecinać, mogą być równoległe, bądź też przecinają się ich przedłużenia, przy czym punkt przecięcia tych prostych może leżeć ,,nad'' lub ,,pod'' prostą $ AB $. Gdy punkty $ C $ i $ C' $ leżą po różnych stronach prostej $ AB $, powstaje czworokąt $ ACBC' $, który może być wypukły, wklęsły, a może też się redukować do trójkąta. Rysunek 1 przedstawia tylko jedno z możliwych usytuowań tych punktów. Proponujemy Czytelnikowi wykonanie rysunków w innych przypadkach i przekonanie się, że istotnie rozumowanie prowadzące do równości (4) oraz (6) nie jest od rysunku zależne.)

Dodając stronami równości (4) i (6) otrzymujemy (po redukcji) dowodzoną równość $ |\measuredangle AOC| = |\measuredangle BOC'| $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź