XL OM - I - Zadanie 4

Dowieść, że nie można tak pociąć kwadratu wzdłuż skończonej liczby odcinków i łuków okręgów, by z otrzymanych części można było złożyć koło (części można odwracać).

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że podział, o jakim mowa w zadaniu, jest wykonalny. Otrzymane w jego wyniku części kwadratu oznaczmy przez $ K_1,\ldots, K_n $ . Brzeg każdej figury $ K_i $ składa się ze skończonej liczby odcinków oraz łuków okręgów. Spośród łuków okręgów będących fragmentami brzegu $ K_i $ niektóre są zwrócone wypukłością na zewnątrz $ K_i $, inne są zwrócone wypukłością do wewnątrz $ K_i $ . Sumę długości tych pierwszych łuków oznaczmy przez $ a_i $, a tych drugich - przez $ b_i $. Przyjmijmy $ d_i = a_i - b_i $.

Weźmy pod uwagę sumę $ s = d_1 + \ldots + d_n $.

Figury $ K_i $ powstały z podziału kwadratu. Brzeg kwadratu składa się z odcinków linii prostych. Zatem każdy fragment okręgu będący linią podziału kwadratu jest jednocześnie podzbiorem brzegu dwóch figur $ K_i $, przy czym w jednej z tych figur jego długość wchodzi do sumy $ s $ ze znakiem plus, a w drugiej --- ze znakiem minus. Tak więc $ s = 0 $.

Założyliśmy, że z figur $ K_i $ można złożyć koło. Niektóre z rozważanych łuków muszą być wtedy zużyte na utworzenie brzegu tego koła. Przy obliczaniu sumy $ s $ długości tych łuków będą liczone jednokrotnie, stale ze znakiem plus. Natomiast długości pozostałych łuków okręgów, tworzących linie podziału koła, ulegną redukcji, jak w przypadku kwadratu. Suma $ s $ będzie więc równa obwodowi koła.

Otrzymana sprzeczność ($ s = 0 $ i jednocześnie $ s > 0 $) kończy dowód.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź