XL OM - I - Zadanie 6

Obliczyć sumę szeregu $ \sum_{n\in A}\frac{1}{2^n} $, w którym sumowanie przebiega zbiór $ A $ wszystkich liczb naturalnych niepodzielnych przez 2, 3, 5.

Rozwiązanie

Liczba naturalna $ n $ jest niepodzielna przez $ 2 $, $ 3 $ i $ 5 $ wtedy i tylko wtedy, gdy przy dzieleniu przez 30 daje jedną z następujących ośmiu reszt:

\[<br />
r_1 = 1,\ r_2 = 7 , r_3 = 11, r_4 = 13 , r_5 = 17 , r_6 = 19 , r_7 = 23 , r_8 = 29 .<br />
\]

Wobec tego suma, którą mamy obliczyć, równa się

\[<br />
(1) \qquad s = s_1 + s_2 + s_3 + s_4 + s_5 + s_6 + s_7 + s_8 ,<br />
\]

gdzie $ s_i $ oznacza sumę analogicznego szeregu utworzonego ze składników odpowiadających tym wartościom $ n $, które mają postać

\[<br />
n = 30k + r_i,\quad k = 0, 1, 2, 3, \ldots .<br />
\]

Tak więc

\[<br />
(2) \qquad s_i=\sum_{k=0}^\infty 2^{-(30k+r_i)}\quad \textrm{dla } i=1,\ldots,8.<br />
\]

(Poprawność zastosowanego przekształcenia oraz słuszność równości (1) wynika z tego, że wyrazami rozważanego szeregu są liczby dodatnie; można je więc w dowolny sposób grupować i przestawiać, bez wpływu na zbieżność i wartość sumy szeregu.)

Prawa strona wzoru (2) przedstawia szereg geometryczny o ilorazie $ 2^{-30} $. Jego suma równa się

\[<br />
s_i= \frac{2^{-r_i}}{1-2^{-30}}= \frac{2^{30-r_i}}{2^{30}-1}\quad \textrm{dla } i=1,\ldots, 8.<br />
\]

Podstawiamy te liczby do równości (1) i otrzymujemy

\[<br />
\frac{2^{29}+2^{23}+2^{17}+2^{11}+2^7+2^1}{2^{30}-1}=\frac{545925250}{1073741823}<br />
\]

Jest to poszukiwana wartość.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź