XL OM - I - Zadanie 7

W przestrzeni dany jest skończony zbiór punktów, z których każde cztery są wierzchołkami czworościanu o objętości mniejszej lub równej 1. Udowodnić, że istnieje czworościan o objętości nie większej niż 27, zawierający wszystkie te punkty.

Rozwiązanie

Niech $ ABCD $ będzie czworościanem o maksymalnej objętości wśród wszystkich czworościanów, których wierzchołkami są punkty rozważanego zbioru. Oznaczmy przez $ O $ jego środek ciężkości, to znaczy punkt przecięcia czterech odcinków, z których każdy łączy wierzchołek czworościanu ze środkiem ciężkości przeciwległej ściany. Wiadomo, że środek ciężkości czworościanu dzieli każdy z tych czterech odcinków w stosunku $ 3:1 $.

Niech $ A'B'C'D' $ będzie obrazem czworościanu $ ABCD $ w jednokładności o środku $ O $ i skali $ -3 $ ($ A' $ - obraz punktu $ A $ itd.). Zgodnie z uczynioną przed chwilą uwagą, środek ciężkości każdej ściany czworościanu przechodzi w tej jednokładności na przeciwległy wierzchołek.

W myśl założenia zadania, objętość czworościanu $ ABCD $ nie przekracza $ 1 $. Zatem objętość czworościanu $ A'B'C'D' $ nie przekracza $ 27 $ (stosunek objętości brył podobnych równa się sześcianowi skali podobieństwa). Wykażemy, że czworościan $ A'B'C'D' $ zawiera wszystkie rozważane punkty - jest więc poszukiwanym czworościanem.

Przypuśćmy, że pewien z tych punktów - nazwijmy go $ P $ - leży poza czworościanem $ A'B'C'D' $. Każdy czworościan jest częścią wspólną czterech półprzestrzeni otrzymanych z podziału całej przestrzeni płaszczyznami ścian. Jeżeli więc punkt $ P $ nie należy do $ A'B'C'D' $, to znaczy, że $ P $ nie należy do jednej z tych półprzestrzeni; powiedzmy, do półprzestrzeni wyznaczonej przez płaszczyznę $ A'B'C' $. Innymi słowy, $ P $ leży po przeciwnej stronie płaszczyzny $ A'B'C' $ niż punkt $ O $. Ale płaszczyzna $ A'B'C' $, równoległa do ściany $ ABC $ czworościanu $ ABCD $, przechodzi przez jego wierzchołek $ D $ (bowiem, jak zauważyliśmy wyżej, wierzchołek $ D $ jest obrazem środka ciężkości ściany $ ABC $ w określonej na początku jednokładności).

Stąd wniosek, że odległość punktu $ P $ od płaszczyzny $ ABC $ jest większa niż odległość punktu $ D $ od tej płaszczyzny. Co za tym idzie, objętość czworościanu $ ABCP $ jest większa od objętości czworościanu $ ABCD $. A przecież czworościan $ ABCD $ określiliśmy jako ten spośród wszystkich czworościanów o wierzchołkach w zadanych punktach, którego objętość jest maksymalna.

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że wszystkie punkty danego zbioru leżą w czworościanie $ A'B'C'D' $. Dowód jest zakończony.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź