XL OM - I - Zadanie 9

Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne $ x $,$ y $,$ z $ spełniające równanie

\[<br />
1 = \frac{2}{x^2} + \frac{3}{y^2} + \frac{4}{z^2}<br />
\]

Rozwiązanie

Z podanego równania wynika, że jeśli $ x $, $ y $, $ z $ jest rozwiązaniem, to $ x, y \geq 2 $ , $ z \geq 3 $. Rozpatrzymy trzy przypadki:

{\em Przypadek} l. $ x = 2 $. Równanie przybiera postać $ 3y^{-2} + 4z^{-2} =\frac{1}{2} $, czyli równoważnie: $ 4y^2 + 3z^2 = \frac{1}{2} y^2z^2 $ , czyli jeszcze inaczej:

\[<br />
(y^2 - 6)(z^2 - 8) = 48  \quad   (y \geq 2,\  z \geq 3).<br />
\]

Rozważając wszystkie możliwe rozkłady liczby $ 48 $ na czynniki całkowite (dodatnie i ujemne) stwierdzamy, że nie ma rozwiązania w tym przypadku.
{\em Przypadek} II. $ y = 2 $. Równanie przybiera postać $ 2x^{-2} + 4z^{-2} = \frac{1}{4} $, czyli - analogicznie jak poprzednio -

\[<br />
(x^2 - 8)(z^2 - 16) = 128 \quad     (x \geq 2,y \geq 3).<br />
\]

Znów rozważamy wszystkie rozkłady liczby $ 128 $ na czynniki i znajdujemy jedyne (w tym przypadku) rozwiązanie: $ x = 3 $ , $ z = 12 $.

{\em Przypadek} III. $ x, y \geq 3 $; także $ z \geq 3 $. Tym razem musimy zauważyć, że zachodzi nierówność

\[<br />
2x^{-2} + 3y^{-2} + 4z^{-2} \leq \frac{2}{9} + \frac{3}{9} + \frac{4}{9} = 1,<br />
\]

przy czym staje się ona równością tylko dla $ x = y = z = 3 $.

Rozważyliśmy wszystkie możliwości i znaleźliśmy dwie trójki $ (x,y,z) $ liczb całkowitych będące rozwiązaniami danego równania: $ (3,2,12) $ oraz $ (3,3,3) $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź