XL OM - I - Zadanie 11

Punkty $ A_1 $ , $ A_2 $ , $ A_3 $ , $ A_4 $ leżą na powierzchni sfery, przy czym odległość każdych dwóch z nich jest mniejsza od długości krawędzi czworościanu foremnego wpisanego w tę sferę. Dowieść, że wszystkie te punkty można oświetlić jednym punktowym źródłem światła umieszczonym na zewnątrz sfery.

Rozwiązanie

Niech $ C_1C_2C_3C_4 $ będzie dowolnym czworościanem foremnym wpisanym w daną sferę; punkt $ O $ niech będzie jej środkiem, a $ r $ - długością promienia. Weźmy pod uwagę wektory

\[<br />
\mathbf{u} _k = \overrightarrow{OA_k},\quad   \mathbf{u} _k = \overrightarrow{OC_k} \quad  (k = 1,2,3,4)<br />
\]

oraz sumę

\[<br />
(1) \qquad \mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2+\mathbf{u}_3+\mathbf{u}_4=\mathbf{w}.<br />
\]

Analogiczna suma utworzona dla wektorów $ \mathbf{v}_k $ (wyznaczonych przez wierzchołki czworościanu foremnego i jego środek ciężkości) jest, rzecz jasna, wektorem zerowym:

\[<br />
(2) \qquad \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3+\mathbf{v}_4= 0.<br />
\]

Mnożymy skalarnie równość (1) stronami przez wektor $ \mathbf{u}_1 $ , a równość (2) przez $ \mathbf{v}_1 $:

\[<br />
r^2 + \mathbf{u}_1  (\mathbf{u}_2+\mathbf{u}_3+\mathbf{u}_4) = \mathbf{u}_1 \cdot w ,<br />
\]
\[<br />
 r^2 + \mathbf{v}_1  (\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3+\mathbf{v}_4) = 0 .<br />
\]

Odejmując otrzymane równości stronami dostajemy

\[<br />
\mathbf{u}_1\cdot \mathbf{w} = \sum_{j=2}^4 (\mathbf{u}_1\cdot \mathbf{u}_j - \mathbf{v}_1\cdot \mathbf{v}_j).<br />
\]

Zgodnie, z warunkiem zadania odległość $ |A_i A_j| $ jest mniejsza od $ |C_iC_j| $ dla dowolnej pary różnych wskaźników $ i $, $ j $. Wobec tego kąt między wektorami $ \mathbf{u}_i $, $ \mathbf{u}_j $ jest mniejszy od kąta między wektorami $ \mathbf{v}_i $, $ \mathbf{v}_j $ . To z kolei oznacza, że iloczyn skalarny $ \mathbf{u}_i \cdot \mathbf{u}_j $ jest większy niż $ \mathbf{v}_i \cdot \mathbf{v}_j $ dla $ i \neq j $ Zatem wszystkie trzy różnice będące składnikami sumy po prawej stronie równości (3) są liczbami dodatnimi i w konsekwencji

\[<br />
\mathbf{u}_1 \cdot \mathbf{w} > 0.<br />
\]

Możemy teraz powtórzyć to samo rozumowanie zastępując wektor $ \mathbf{u}_1 $ dowolnym spośród wektorów $ \mathbf{u}_2 $,$ \mathbf{u}_3 $,$ \mathbf{u}_4 $. Wobec tego $ \mathbf{u}_k \cdot \mathbf{w} >0 $ dla $ k = 1,2,3,4 $. Znaczy to, że wektory $ \mathbf{u}_k $ tworzą z wektorem $ \mathbf{w} $ kąty ostre. Stąd wniosek, że punkty $ A_k $ leżą, wszystkie po jednej stronie płaszczyzny przechodzącej przez punkt $ O $ i prostopadłej do wektora $ \mathbf{w} $ - czyli leżą na jednej połówce rozważanej sfery. Można je więc oświetlić z punktu położonego poza tą sferą.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź