LIX OM - I -Zadanie 9

Wyznaczyć najmniejszą liczbę rzeczywistą a o następującej własności:

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x, y, z \geqslant a $ spełniających warunek $ x +y + z = 3 $
prawdziwa jest nierówność

\[<br />
x^3 + y^3 + z^3 \geqslant 3.<br />
\]

Rozwiązanie

Odpowiedź: $ a = -5 $.

W rozwiązaniu wykorzystamy następującą tożsamość:

\[<br />
(1)\qquad t^3 +2\cdot \left(\frac{3-t}{2}\right)^3 - 3= \frac{3(t+5)(t-1)^2}{4} .<br />
\]

Przypuśćmy, że liczba $ a \leqslant 1 $ ma daną w treści zadania własność. Liczby
$ x = a, y = z = 2\cdot (\frac{3-a}{2}) $ spełniają warunki $ x, y, z \geqslant a $ i $ x+y+z = 3 $, zatem

\[<br />
0\leqslant x^3 + y^3 + z^3 - 3 = a^3 +2\cdot \left(\frac{3-a}{2}\right)^3 - 3= \frac{3(a+5)(a-1)^2}{4}<br />
\]

na mocy (1), skąd wynika nierówność $ a \geqslant -5 $.

Wykażemy z kolei, że liczba $ a = -5 $ spełnia warunki zadania. W tym celu rozpatrzmy takie liczby
$ x, y, z \geqslant-5 $, że $ x + y + z = 3 $. Bez ograniczenia ogólności przyjmijmy, że
$ x \leqslant y \leqslant z $. Suma $ y + z $ jest liczbą dodatnią, gdyż w przeciwnym razie wobec
$ y\leqslant z $ mielibyśmy $ x \leqslant y \leqslant 0 $, skąd wynikałoby, że $ x +y + z \leqslant y + z \leqslant 0 $,
co przeczy warunkowi $ x+y+z = 3 $. Skoro zaś $ y + z> 0 $, prawdziwa jest nierówność

\[<br />
y^3 + z^3 - 2\left( \frac{y+z}{2}\right)^3 = \frac{3(y^3-y^2z-yz^2+z^3)}{4} = \frac{3(y-z)^2(y+z)}{4}\geqslant 0.<br />
\]

skąd na podstawie tożsamości (1) otrzymujemy ostatecznie

\[<br />
x^3 + y^3 + z^3 \geqslant x^3 + 2\left(\frac{y+z}{2}\right)^3 =<br />
x^3 +2\cdot \left(\frac{3-x}{2}\right)^3 = 3 + \frac{3(x+5)(x-1)^2}{4} \geqslant 3.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź