XL OM - I - Zadanie 12

Udowodnić, że dla każdej liczby całkowitej $ k\geq l $ istnieje taka liczba rzeczywista $ x $, że przy każdym całkowitym $ m \geq 1 $ liczba $ [x^m] + 1 $ dzieli się przez $ k $.

Użyjemy tożsamości

\[<br />
(3) \qquad (k + t)^m + (k-t)^m = 2 \sum_{j=0}^{[m/2]} k^{m-2}t^{2j} ,<br />
\]

zachodzącej dla dowolnych liczb $ k $,$ t $, a wynikającej natychmiast z wzoru dwumianowego. Zakładamy, że $ k \geq 2 $ jest daną w zadaniu liczbą całkowitą i przyjmujemy $ t = \sqrt{k^2 - k} $. Wówczas $ t^2 = k^2 - k > (k -1)^2 $ , więc

\[<br />
(4) \qquad 0 < k - t < 1.<br />
\]

Po prawej stronie wzoru (3) liczba $ t $ występuje tylko w parzystych potęgach. Wobec tego prawa strona (3) przedstawia liczbę całkowitą, i to będącą wielokrotnością $ k $. Lewa strona (3) ma postać sumy, której drugi składnik jest (w myśl (4)) liczbą z przedziału $ (0; 1) $. Wynika stąd, że jej pierwszy składnik ma część całkowitą o $ 1 $ mniejszą od liczby napisanej po prawej stronie (3):

\[<br />
[(k + t)^m] + 1 = (\textrm{prawa strona} (3)) = (\textrm{wielokrotność} k).<br />
\]

Wystarczy zatem przyjąć $ x = k + t = k \sqrt{k^2-k} $, by uczynić zadość postulatowi zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź