XL OM - II - Zadanie 1

Rozwiązać równanie

\[<br />
\tg 7x - \sin 6x=\cos 4x - \ctg 7x.<br />
\]

Rozwiązanie

Przepisujemy dane równanie w postaci

\[<br />
f(x) = g(x) ,<br />
\]

gdzie

\[<br />
f(x) = \tg 7x+\ctg 7x , \quad  g(x) = \sin 6x + \cos 4x .<br />
\]

Zarówno $ f $, jak i $ g $, jest funkcją okresową, o okresie $ \pi $. Wystarczy więc poszukiwać rozwiązań w zbiorze $ (-\pi/2; 0) \cup (0; \pi/2) $ punkt $ 0 $ oraz końce przedziału $ (-\pi/2; \pi/2) $ zostały usunięte jako nie należące do dziedziny funkcji $ f $).

Wyrażenie postaci $ t + t^{-1} $ przyjmuje wyłącznie wartości o module nie mniejszym od $ 2 $; oto uzasadnienie:

\[<br />
\left| t+ \frac{1}{t}\right| = \sqrt{\left(t+ \frac{1}{t}\right)^2}= \sqrt{\left(t- \frac{1}{t}\right)^2+4}\geq \sqrt{4}=2.<br />
\]

Zatem $ |f(x)| \geq 2 $ dla każdego $ x $ należącego do dziedziny funkcji $ f $. Jednocześnie $ |g(x)| \leq | \sin 6x| +| \cos4x| \leq 2 $ dlą każdego $ x $. Wobec tego równość $ f(x)=g(x) $ zachodzi tylko wtedy gdy $ f(x) - g(x) = 2 $ lub $ f(x) = g(x) = - 2 $ . Z kolei równość $ g(x) = \pm 2 $ oznacza, że $ \sin 6x = \cos 4x = \pm 1 $. Równanie $ \cos 4x = -1 $ ma w zbiorze $ (-\pi/2;0) \cup (0;\pi/2) $ dwa rozwiązania: $ x_1 = -\pi/4 $, $ x_2 = -\pi/4 $; równanie $ \cos 4x = 1 $ nie ma w tym zbiorze rozwiązań. Liczba $ x $ spełnia przy tym równanie sin $ \sin 6x =- 1 $; liczba $ x_2 $ tego równania nie spełnia. Ponieważ zaś $ f(\pi/4) = \tg (7\pi/4)+\ctg (7\pi/4) = -2 $, widzimy, że jedynym rozwiązaniem danego równania w rozważanym zbiorze jest liczba $ \pi/4 $.

Uwzględniając wspomnianą na wstępie okresowość otrzymujemy zbiór liczb postaci

\[<br />
x=\frac{\pi}{4} + k \pi \quad (k \ \textrm{całkowite})<br />
\]

jako ogólne rozwiązanie podanego równania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź