XL OM - II - Zadanie 6

W trójkącie $ ABC $ przez punkt wewnętrzny $ P $ poprowadzono proste $ CP $, $ AP $, $ BP $ przecinające boki $ AB $, $ BC $, $ CA $ odpowiednio w punktach $ K $, $ L $, $ M $. Udowodnić, że jeśli w czworokąty $ AKPM $ i $ KBLP $ można wpisać koła, to w czworokąt $ LCMP $ też można wpisać koło.

Rozwiązanie

Przez koło wpisane w czworokąt (wypukły lub wklęsły) będziemy rozumieli koło zawarte w tym czworokącie i styczne do czterech prostych zawierających jego boki. Warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia takiego koła jest równość sum długości przeciwległych boków czworokąta. Ten fakt, doskonale znany dla czworokątów wypukłych, mniej powszechnie jest znany dla czworokątów wklęsłych. Wszelako dowód w przypadku czworokąta wklęsłego otrzymuje się przez prostą adaptację zwykłego ,,podręcznikowego'' dowodu dla przypadku czworokąta wypukłego. Podamy go na końcu rozwiązania, w Uwadze.

Teza naszego zadania jest bezpośrednim wnioskiem z podanej własności: założenie zadania oznacza, że istnieją koła wpisane w czworokąty wklęsłe $ PCAB $ i $ PABC $. Zatem (rysunek 3)

om40_2r_img_3.jpg

\[<br />
\begin{split}<br />
|PC| + |AB| = |PB| + |CA|,\\<br />
|PA| + |BC| = |PC| + |AB|.<br />
\end{split}<br />
\]

Stąd

\[<br />
|PA| + |BC| = |PB| + |CA|,<br />
\]

a więc istnieje koło wpisane w czworokąt wklęsły $ PBCA $ - czyli koło wpisane w czworokąt wypukły $ LCMP $.

Uwaga. Oto dowód twierdzenia mówiącego, ze w czworokąt wklęsły da się wpisać koło wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków są równe.

Niech $ PABC $ będzie czworokątem wklęsłym; zakładamy, że punkt $ P $ leży wewnątrz trójkąta $ ABC $. Przedłużenia boków $ AP $ i $ CP $ przecinają boki $ BC $ i $ AB $ odpowiednio w punktach $ L $ i $ K $.

Przypuśćmy, żc istnieje koło styczne do prostych zawierających boki czworokąta $ PABC $. Jest to, mówiąc prościej, koło wpisane w czworokąt wypukły $ PKBL $. Oznaczmy przez $ T $, $ U $, $ V $, $ W $ punkty styczności tego koła odpowiednio z bokami $ PK $, $ KB $, $ BL $, $ LP $ (rysunek 4).

om40_2r_img_4.jpg

Następujące pary odcinków stycznych do rozważanego koła mają równe długości:

\[<br />
(1) \qquad<br />
\begin{split}<br />
|AU| = |WA|, \\<br />
|PT| = |WP|<br />
\end{split}<br />
\]

oraz

\[<br />
(2) \qquad<br />
\begin{split}<br />
|UB| = |BV|, \\<br />
|CT| = |VC|.<br />
\end{split}<br />
\]

Odejmujemy stronami obie równości (1):

\[<br />
|AU| - |PT| = |WA| - |WP| = |PA|.<br />
\]

Dodajemy stronami równości (2):

\[<br />
|UB| + |CT| = |BV| + |VC| = |BC|.<br />
\]

Dodajemy wreszcie stronami otrzymane równości i dostajemy:

\[<br />
(3) \qquad |PA| + |BC| = |AU| + |UB| + |CT| - |PT| = |AB| + |CP|,<br />
\]

czyli równość, którą należało wykazać.

Pozostała do udowodnienia implikacja przeciwna: zakładając, że zachodzi równość (3), mamy dowieść, że w czworokąt wklęsły $ PABC $ da się wpisać koło - czyli, że da się wpisać koło w czworokąt wypukły $ PKBL $.

Wpisujemy najpierw koło $ \Omega $ w trójkąt $ ABL $. Prowadzimy z punktu $ C $ prostą styczną do tego koła (różną od prostej $ CB $), przecinającą odcinek $ AB $ w punkcie $ K' $. Przypuśćmy, że punkt $ K' $ nie pokrywa się z $ K $. Niech $ P' $ będzie punktem przecięcia prostych $ AL $ i $ CK' $; powstaje (niezdegenerowany) trójkąt $ CPP' $ (rysunek 5 przedstawia dwie możliwe konfiguracje).

om40_2r_img_5.jpg

Koło $ \Omega $ jest wpisane w czworokąt wklęsły $ PABC $. Na mocy udowodnionej już części twierdzenia w czworokącie tym spełniona jest równość analogiczna do (3):

\[<br />
|P'A| + |BC| = |AB| + |CP'|.<br />
\]

Odejmujemy tę równość stronami od (3) i stwierdzamy, że

\[<br />
|PA| - |P'A| = |CP| - |CP'|.<br />
\]

Lewa strona ostatniej równości to - z dokładnością do znaku - długość odcinka $ PP' $. Uzyskujemy w ten sposób następujący związek między długościami boków trójkąta $ CPP' $:

\[<br />
|CP'| = |CP| \pm |PP'|.<br />
\]

W trójkącie, który nie degeneruje się do odcinka, taka równość zachodzić nie może. Otrzymana sprzeczność jest wynikiem przypuszczenia, że $ K' \ne K $ . Zatem punkt $ K' $ musi pokrywać się z $ K $. A to znaczy, że koło $ \Omega $ jest wpisane w czworokąt $ PKBL $; dowód jest zakończony.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź