XL OM - III - Zadanie 2

Na płaszczyźnie dane są trzy okręgi $ k_1 $, $ k_2 $, $ k_3 $. Okręgi $ k_2 $ i $ k_3 $ są styczne zewnętrznie w punkcie $ P $, okręgi $ k_3 $ i $ k_1 $ — w punkcie $ Q $, okręgi $ k_1 $ i $ k_2 $ — w punkcie $ R $. Prosta $ PQ $ przecina okrąg $ k_1 $ jeszcze w punkcie $ S $, a prosta $ PR $ — w punkcie $ T $. Prosta $ SR $ przecina okrąg $ k_2 $ również w punkcie $ U $, a prosta $ TQ $ przecina $ k_3 $ jeszcze w punkcie $ V $. Udowodnić, że punkt $ P $ leży na prostej $ UV $.

Rozwiązanie

om40_3r_img_6.jpg

Oznaczmy okrąg wpisany w trójkąt $ O_1O_2O_3 $ przez $ k $, jego środek przez $ I $, a środki okręgów $ k_1 $, $ k_2 $ , $ k_3 $ - przez $ O_1 $, $ O_2 $, $ O_3 $. Okrąg $ k $ jest styczny do boków trójkąta $ O_1O_2O_3 $ w punktach $ P $, $ Q $, $ R $; wymka to z równości $ |O_1Q| = |O_1R| $, $ |O_2R| = |O_2P| $, $ |O_3P| = |O_3Q| $.

Zachodzą następujące równości kątów (rysunek 6):

\[<br />
\begin{split}<br />
|\measuredangle RPQ| = \frac{1}{2} |\measuredangle RIQ| &\ \textrm{(kąt wpisany i kąt środkowy w okręgu } k);\\<br />
|\measuredangle QSR| = \frac{1}{2}|\measuredangle QO_1R| &\ \textrm{(kąt wpisany i kąt środkowy w okręgu } h);\\<br />
|\measuredangle QTR| = \frac{1}{2}|\measuredangle QO_1R| &\ \textrm{(kąt wpisany i kąt środkowy w okręgu } h);\\<br />
|\measuredangle RIQ| + |\measuredangle QO_1R| = 180^\circ &\ \textrm{(przeciwległe kąty czworokąta } IQO_1R \textrm{ o pozostałych dwóch kątach prostych)}.<br />
\end{split}<br />
\]

Z tych równości otrzymujemy z kolei związek

\[<br />
|\measuredangle QSR| = |\measuredangle QTR| = 90^\circ -|\measuredangle RPQ|,<br />
\]

który oznacza, że trójkąty $ PRS $ i $ PQT $ są prostokątne: $ PT \bot SU $, $ PS \bot TY $.

Tak więc kąty $ PRU $ i $ PQV $ są proste. Są to kąty wpisane w okręgi $ k_2 $ i $ k_3 $ i muszą być oparte na półokręgach. Zatem odcinki $ PU $ i $ PV $ są średnicami tych okręgów; są wobec tego prostopadłe do wspólnej stycznej (prostej $ PI $). Stąd wynika współliniowość punktów $ U $, $ P $, $ V $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź