XL OM - III - Zadanie 5

Na sferze o promieniu $ r $ leżą trzy okręgi o promieniu $ a $, parami styczne i zawarte w jednej półsferze. Znaleźć promień okręgu leżącego na tej samej sferze i stycznego do każdego z tych trzech okręgów.

Uwaga Podobnie jak na płaszczyźnie, mówimy, że dwa okręgi leżące na sferze są styczne, jeśli mają dokładnie jeden punkt wspólny.

Rozwiązanie

Oznaczmy trzy dane okręgi (o promieniu $ a $) przez $ k_1 $, $ k_2 $, $ k_3 $. Załóżmy, że $ k_0 $ jest okręgiem o promieniu $ x $, położonym na tej samej sferze i stycznym do każdego z okręgów $ k_1 $, $ k_2 $, $ k_3 $. Żaden z okręgów $ k_1 $, $ k_2 $, $ k_3 $ nie jest okręgiem wielkim danej sfery (dwa różne okręgi wielkie zawsze mają dwa punkty wspólne).

Niech $ O $ będzie środkiem rozważanej sfery. Suma półprostych o wspólnym początku $ O $, przecinających okrąg $ k_i $, jest powierzchnią boczną nieograniczonego stożka kołowego, który oznaczymy przez $ C_i $: ($ i = 0,1,2,3 $).

Okrąg $ k_0 $ może być okręgiem wielkim, brzegiem półsfery zawierającej okręgi $ k_1 $, $ k_2 $, $ k_3 $. W takim przypadku suma półprostych o początku $ O $, wyznaczonych przez punkty okręgu $ k_0 $, jest płaszczyzną. Umówmy się, że przez $ C_0 $ rozumiemy wówczas jedną z dwóch wyznaczonych przez tę płaszczyznę półprzestrzeni - tę, która zawiera okręgi $ k_1 $, $ k_2 $, $ k_3 $. Mówiąc ,,stożek'' będziemy w dalszym ciągu dopuszczać także i ten przypadek, traktując półprzestrzeń jako graniczną (,,zdegenerowaną'') postać stożka.

Weźmy dwa różne numery $ i, j \in \{0,1,2,3\} $. Okręgi $ k_i $ i $ k_j $ mają dokładnie jeden punkt wspólny, zatem stożki $ C_i $ i $ C_j $ mają dokładnie jedną współną tworzącą. Mamy przy tym dwie możliwości: albo jeden z tych stożków zawiera się w drugim, albo też stożki te nie mają poza wspólną tworzącą innych punktów wspólnych. W pierwszym przypadku będziemy mówili o styczności wewnętrznej, w drugim - o styczności zewnętrznej.

Zauważmy, że dla każdej pary numerów $ i, j \in \{1,2,3\} $ zachodzi ten drugi przypadek (wobec założonej równości promieni okręgów $ k_1 $, $ k_2 $, $ k_3 $, inkluzja $ C_i \subset C_j $ musiałaby być równością; okręgi $ k_1 $ i $ k_j $ byłyby więc identyczne, wbrew temu, że mają tylko jeden punkt wspólny). Tak więc stożki $ C_1 $, $ C_2 $, $ C_3 $ są parami styczne zewnętrznie. Tworzące, wzdłuż których stożki te są styczne - to trzy różne półproste.

Wyobraźnia geometryczna ukazuje nam dwie konfiguracje:
I. Stożki $ C_1 $, $ C_2 $ , $ C_3 $ są styczne wewnętrznie do $ C_0 $.
II. Wszystkie cztery stożki są parami styczne zewnętrznie.

(W przypadku I okrąg $ k_0 $ ,,obejmuje'' trzy dane okręgi $ k_1 $, $ k_2 $, $ k_3 $, w przypadku II jest ,,wpisany'' pomiędzy nie.)

Wykażemy, że istotnie musi zajść jedna z tych sytuacji.

Przypuśćmy, że tak nie jest. Wówczas co najmniej jeden ze stożków $ C_1 $, $ C_2 $, $ C_3 $ (na przykład $ C_1 $) jest styczny do $ C_0 $ wewnętrznie oraz co najmniej jeden z tych stożków (na przykład $ C_2 $) jest styczny do $ C_0 $ zewnętrznie. Trzeci stożek, $ C_3 $, jest styczny zarówno do $ C_1 $, jak i do $ C_2 $ (i to wzdłuż różnych tworzących). Pewne jego punkty muszą więc znajdować się wewnątrz stożka $ C_0 $, a pewne - na zewnątrz. To się jednak nie da pogodzić ze stycznością $ C_3 $ do $ C_0 $. Uzyskana sprzeczność pokazuje, że rzeczywiście nie ma innych możliwości niż I i II.

Przechodzimy do obliczeń.

Oznaczmy rozwartość kąta przy wierzchołku każdego ze stożków $ C_1 $, $ C_2 $, $ C_3 $ przez $ 2\alpha $, a stożka $ C_0 $ - przez $ 2\varphi $:

\[<br />
(1) \qquad \sin \alpha = \frac{a}{r}, \ \sin \varphi = \frac{x}{r}.<br />
\]

Niech $ A_i $ będzie środkiem okręgu $ k_i \in (i = 0,1, 2, 3) $. Trójkąt $ A_1A_2A_3 $ jest równoboczny. Długość jego boku wyznaczymy rozważając przekrój danych brył i figur płaszczyzną $ OA_1A_2 $ (rysunek 7):

\[<br />
|A_1 A_2 | = 2a \cos \alpha<br />
\]

om40_3r_img_7.jpg

(na rysunkach $ \pi_i $ oznacza ślad płaszczyzny okręgu $ k_i $).

Oznaczmy przez $ S $ środek trójkąta $ A_1A_2A_3 $ (czyli punkt będący jednocześnie środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt oraz środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie). Jego odległość od wierzchołka równa się $ \frac{2}{3} $ wysokości:

\[<br />
(2) \qquad |A_1S| = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot |A_1A_2| = \frac{2}{3} \sqrt{3} a \cos \alpha.<br />
\]

Odcinek $ OA_1 $ jest wysokością trójkąta równoramiennego o dwóch bokach długości $ r $, tworzących kąt o mierze $ 2\alpha $. A zatem

\[<br />
(3) \qquad |OA_1| = r \cos \alpha.<br />
\]

Weźmy teraz pod uwagę przekrój płaszczyzną $ OA_0A_1 $. Niech $ B $ będzie punktem styczności okręgów $ k_0 $ i $ k_1 $ .

om40_3r_img_8.jpg
om40_3r_img_9.jpg

Mamy równości: $ | \measuredangle SOB| = \varphi $; $ |A_1B| = a $, $ |A_0B| = x $. Rozwartość kąta $ SOA_1 $ wynosi: $ \varphi - \alpha $ w przypadku I oraz $ \varphi + \alpha $ w przypadku II (rysunki 8 i 9 ilustrują te dwie sytuacje). Wobec tego, zgodnie z (1),

\[<br />
(4) \qquad \sin | \measuredangle SOA_1 | = \sin (\varphi \pm \alpha) = \frac{x}{r} \sqrt{1-\frac{a^2}{r^2}} \pm \frac{a}{r} \sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}}<br />
\]

(znak minus w przypadku I, plus w przypadku II). Jednocześnie, wobec związków (2) i (3), mamy równość

\[<br />
(5) \qquad \sin |\measuredangle SOA_1| = \frac{A_1S}{OA_1} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{a}{r}.<br />
\]

Przyrównując prawe strony (4) i (5) dostajemy równanie

\[<br />
(6) \qquad \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{a}{r} - \frac{x}{r} \sqrt{1-\frac{a^2}{r^2}} = \pm \frac{a}{r} \sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}},<br />
\]

które - po podniesieniu stronami do kwadratu i dalszych przekształceniach - przybiera postać

\[<br />
(7) \qquad x^2 - \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{a}{r} \sqrt{r^2-a^2} \cdot x + \frac{a^2}{3} = 0.<br />
\]

Pierwiastkami równania kwadratowego (7) są liczby

\[<br />
\begin{split}<br />
(8) \qquad x_1 = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{a}{r} \left( \sqrt{r^2-a^2} + \frac{1}{2} \sqrt{3r^2 - 4a^2} \right),\\<br />
x_2 = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{a}{r} \left( \sqrt{r^2-a^2} - \frac{1}{2} \sqrt{3r^2 - 4a^2} \right);<br />
\end{split}<br />
\]

wyrażenia podpierwiastkowe są nieujemne, co wynika ze związku (5): $ 2a \leq \sqrt{3} r $. Liczba $ x_1 $ spełnia równanie pierwiastkowe (6) ze znakiem minus po prawej stronie, $ x_2 $ zaś - ze znakiem plus.

Stąd wynika odpowiedź:
Dla każdej trójki parami stycznych okręgów o promieniach równej długości $ a $ (na półsferze o promieniu $ r $) istnieją dwa okręgi styczne do każdego z tych trzech okręgów, usytuowane w sposób opisany powyżej (konfiguracje I i II). Ich promienie są dane wzorami (8); wartość $ x_1 $ odpowiada konfiguracji I, a wartość $ x_2 $ - konfiguracji II.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź