- LX OM
- LIX OM
- LVIII OM
- LVII OM
- LVI OM
- LV OM
- LIV OM
- LIII OM
- LII OM
- LI OM
- L OM
- XLIX OM
- XLVIII OM
- XLVIII OM - I etap
- XLVIII OM - I - Zadanie 1
- XLVIII OM - I - Zadanie 2
- XLVIII OM - I - Zadanie 3
- XLVIII OM - I - Zadanie 4
- XLVIII OM - I - Zadanie 5
- XLVIII OM - I - Zadanie 6
- XLVIII OM - I - Zadanie 7
- XLVIII OM - I - Zadanie 8
- XLVIII OM - I - Zadanie 9
- XLVIII OM - I - Zadanie 10
- XLVIII OM - I - Zadanie 11
- XLVIII OM - I - Zadanie 12
- XLVIII OM - II etap
- XLVIII OM - III etap
- XLVIII OM - I etap
- XLVII OM
- XLVI OM
- XLV OM
- XLIV OM
- XLIII OM
- XLII OM
- XLI OM
- XL OM
- XXXIX OM
- XXXVIII OM
- XXXVIII OM - I etap
- XXXVIII OM - I - Zadanie 1
- XXXVIII OM - I - Zadanie 2
- XXXVIII OM - I - Zadanie 3
- XXXVIII OM - I - Zadanie 4
- XXXVIII OM - I - Zadanie 5
- XXXVIII OM - I - Zadanie 6
- XXXVIII OM - I - Zadanie 7
- XXXVIII OM - I - Zadanie 8
- XXXVIII OM - I - Zadanie 9
- XXXVIII OM - I - Zadanie 10
- XXXVIII OM - I - Zadanie 11
- XXXVIII OM - I - Zadanie 12
- XXXVIII OM - II etap
- XXXVIII OM - III etap
- XXXVIII OM - I etap
- XXXVII OM
- XXXVII OM - I etap
- XXXVII OM - I - Zadanie 1
- XXXVII OM - I - Zadanie 2
- XXXVII OM - I - Zadanie 3
- XXXVII OM - I - Zadanie 4
- XXXVII OM - I - Zadanie 5
- XXXVII OM - I - Zadanie 6
- XXXVII OM - I - Zadanie 7
- XXXVII OM - I - Zadanie 8
- XXXVII OM - I - Zadanie 9
- XXXVII OM - I - Zadanie 10
- XXXVII OM - I - Zadanie 11
- XXXVII OM - I - Zadanie 12
- XXXVII OM - II etap
- XXXVII OM - III etap
- XXXVII OM - I etap
- XXXVI OM
- XXXV OM
- XXXIV OM
- XXXIII OM
- XXXIII OM - I etap
- XXXIII OM - I - Zadanie 1
- XXXIII OM - I - Zadanie 2
- XXXIII OM - I - Zadanie 3
- XXXIII OM - I - Zadanie 4
- XXXIII OM - I - Zadanie 5
- XXXIII OM - I - Zadanie 6
- XXXIII OM - I - Zadanie 7
- XXXIII OM - I - Zadanie 8
- XXXIII OM - I - Zadanie 9
- XXXIII OM - I - Zadanie 10
- XXXIII OM - I - Zadanie 11
- XXXIII OM - I - Zadanie 12
- XXXIII OM - II etap
- XXXIII OM - III etap
- XXXIII OM - I etap
- XXXII OM
- XXXI OM
- XXX OM
- XXIX OM
- XXVIII OM
- XXVII OM
- XXVI OM
- XXV OM
- XXIV OM
- XXIII OM
- XXII OM
- XXI OM
- XX OM
- XIX OM
- XVIII OM
- XVII OM
- XVI OM
- XV OM
- XIV OM
- XIII OM
- XII OM
- XI OM
- X OM
- IX OM
- VIII OM
- VII OM
- V OM
- VI OM
- IV OM
- III OM
- II OM
- I OM
- Skład komitetów Olimpiady
- Zawody stopnia I (przygotowawcze)
- Zadania z pierwszej olimpiady matematycznej
- I OM - B
- I OM - B - Zadanie 1
- I OM - B - Zadanie 2
- I OM - B - Zadanie 3
- I OM - B - Zadanie 4
- I OM - B - Zadanie 5
- I OM - B - Zadanie 6
- I OM - B - Zadanie 7
- I OM - B - Zadanie 8
- I OM - B - Zadanie 9
- I OM - B - Zadanie 10
- I OM - B - Zadanie 11
- I OM - B - Zadanie 12
- I OM - B - Zadanie 13
- I OM - B - Zadanie 14
- I OM - B - Zadanie 15
- I OM - B - Zadanie 16
- I OM - B - Zadanie 17
- I OM - B - Zadanie 18
- I OM - B - Zadanie 19
- I OM - B - Zadanie 20
- I OM - I etap
- I OM - II etap
- I OM - III etap
- I OM - B
XL OM - III - Zadanie 6
Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich spełniona jest nierówność
![]() |
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia:
![]() |
Liczby ,
,
,
są współczynnikami wielomianu
![]() |
Jest to wielomian czwartego stopnia, mający cztery pierwiastki ujemne: ,
,
,
(jeśli któreś z tych liczb są równe, mamy pierwiastek wielokrotny).
Różniczkujemy wielomian :
![]() |
Na mocy twierdzenia Rolle'a między każdymi dwoma kolejnymi różnymi pierwiastkami wielomianu znajduje się pierwiastek pochodnej
; ponadto, jeśli pewien punkt jest pierwiastkiem
-krotnym wielomianu
, to jest on pierwiastkiem (
)-krotnym wielomianu
. Stąd wynika, że wielomian
ma (licząc z krotnościami) co najmniej trzy pierwiastki w przedziale
, gdzie
jest najmniejszą, a
największą z liczb
,
,
,
; ma więc trzy pierwiastki ujemne. Oznaczmy je przez
,
,
(
). Ponieważ
jest wielomianem trzeciego stopnia, nie ma on już innych pierwiastków. Ma zatem postać
![]() |
czynnik na początku pojawia się dlatego, że współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej w wielomianie
wynosi 4 (por.wzór (2)). Po wymnożeniu dwumianów w nawiasach otrzymujemy
![]() |
Przyrównując współczynniki wielomianów (2) i (3) dostajemy równości
![]() |
Między średnią arytmetyczną 1 średnią geometryczną liczb ,
,
zachodzi nierówność
![]() |
którą, w myśl wzorów (4), możemy przepisać w postaci
![]() |
Jest to właśnie nierówność, którą mieliśmy udowodnić.
Uwaga 2. Rozważana w tym zadaniu nierówność jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego twierdzenia.
Niech będą dane liczby naturalne ,
(
) oraz liczby rzeczywiste
. Średnią symetryczną rzędu
liczb
nazywamy wielkość
![]() |
gdzie sumowanie rozciągnięte jest na wszystkie -wyrazowe układy wskaźników
,
. Tak więc
![]() |
Teza naszego zadania mówi, że
![]() |
Prawdziwe są także nierówności
![]() |
(w odróżnieniu od (13), dowody nierówności (14) są całkiem prostym ćwiczeniem).
Nietrudno się domyśleć, że ogólnie, dla liczb:
![]() |
Są to nierówności McLaurina; dowód można znaleźć na przykład w książce: D.S.Mitrinović Analytic Inequalities, Berlin-Heidelberg-New York 1970 (rozdział 2.15, twierdzenie 4).
Komentarze
Dodaj nową odpowiedź