XL OM - III - Zadanie 6

Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich $ a, b, c, d $ spełniona jest nierówność

\[<br />
\sqrt{\frac{ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}} \geq \sqrt{\frac{abc+abd+acd+bcd}{6}}.<br />
\]

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia:

\[<br />
\begin{split}<br />
A &= a + b + c + d,\\<br />
B &= ab + ac + ad + bc + bd + cd, \\<br />
C &= abc + abd + acd + bed, \\<br />
D &= abcd.<br />
\end{split}<br />
\]

Liczby $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ są współczynnikami wielomianu

\[<br />
P(x) = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = x^4 + Ax^3 + Bx^2 + Cx + D.<br />
\]

Jest to wielomian czwartego stopnia, mający cztery pierwiastki ujemne: $ -a $, $ -b $, $ -c $, $ -d $ (jeśli któreś z tych liczb są równe, mamy pierwiastek wielokrotny).

Różniczkujemy wielomian $ P $:

\[<br />
(2) \qquad P'(x) = 4x^3 + 3Ax^2 + 2Bx + C.<br />
\]

Na mocy twierdzenia Rolle'a między każdymi dwoma kolejnymi różnymi pierwiastkami wielomianu $ P $ znajduje się pierwiastek pochodnej $ P' $; ponadto, jeśli pewien punkt jest pierwiastkiem $ k $-krotnym wielomianu $ P $, to jest on pierwiastkiem ($ k-1 $)-krotnym wielomianu $ P' $. Stąd wynika, że wielomian $ P' $ ma (licząc z krotnościami) co najmniej trzy pierwiastki w przedziale $ \langle \beta; - \alpha \rangle $, gdzie $ \alpha $ jest najmniejszą, a $ \beta $ największą z liczb $ a $, $ b $, $ c $, $ d $; ma więc trzy pierwiastki ujemne. Oznaczmy je przez $ -p $, $ -q $, $ -r $ ($ p, q, r > 0 $). Ponieważ $ P' $ jest wielomianem trzeciego stopnia, nie ma on już innych pierwiastków. Ma zatem postać

\[<br />
P'(x) = 4(x + p)(x + q)(x + r) ;<br />
\]

czynnik $ 4 $ na początku pojawia się dlatego, że współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej w wielomianie $ P' $ wynosi 4 (por.wzór (2)). Po wymnożeniu dwumianów w nawiasach otrzymujemy

\[<br />
(3) \qquad P'(x) = 4x^3 + 4(p + q + r)x^2 + 4(pq + qr + rp)x + Apqr.<br />
\]

Przyrównując współczynniki wielomianów (2) i (3) dostajemy równości

\[<br />
(4) \qquad pq + qr + rp = \frac{1}{2} B, \     pqr = \frac{1}{4}C .<br />
\]

Między średnią arytmetyczną 1 średnią geometryczną liczb $ pq $, $ qr $, $ rp $ zachodzi nierówność

\[<br />
\frac{1}{3}(pq + qr + rp) \geq (pq \cdot qr \cdot rp)^{1/3} = (pqr)^{2/3},<br />
\]

którą, w myśl wzorów (4), możemy przepisać w postaci

\[<br />
(5) \qquad \left( \frac{1}{6}B \right)^{1/2} \geq \left( \frac{1}{4} C\right)^{1/3} .<br />
\]

Jest to właśnie nierówność, którą mieliśmy udowodnić.

Uwaga 2. Rozważana w tym zadaniu nierówność jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego twierdzenia.

Niech będą dane liczby naturalne $ n $, $ k $ ($ n \geq k \geq 1 $) oraz liczby rzeczywiste $ a_1,\ldots, a_n \geq 0 $. Średnią symetryczną rzędu $ k $ liczb $ a_1,\ldots, a_n $ nazywamy wielkość

\[<br />
\sigma_k(a_1, \ldots, a_n) = \left( \binom{n}{k} ^{-1} \sum a_{i_1} \ldots a_{i_k} \ \right) ^{1/k},<br />
\]

gdzie sumowanie rozciągnięte jest na wszystkie $ k $-wyrazowe układy wskaźników $ (i_1,\ldots, i_k) $, $ 1 \leq i_1 < ... < i_k \leq n $. Tak więc

\[<br />
\begin{split}<br />
\sigma_1(a_1, \ldots, a_n) &= \binom{n}{1}^{-1} \sum_{i=1}^n a_i = \frac{a_1 + \ldots + a_n}{n},\\<br />
\sigma_2(a_1, \ldots, a_n) &= \left( \binom{n}{2}^{-1} \sum_{i<j} a_ia_j \right)^{1/2} = \sqrt{\frac{2a_1a_2 + \ldots}{n(n-1)}},\\<br />
\sigma_3(a_1, \ldots, a_n) &= \left( \binom{n}{3}^{-1} \sum_{i<j<l} a_ia_ja_l \right)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{6(a_1a_2a_3 + \ldots)}{n(n-1)(n-2)}},\\<br />
&\ \vdots \\<br />
\sigma_n(a_1, \ldots, a_n) &= \left(\binom{n}{n}^{-1} a_1a_2 \ldots a_n \right)^{1/n} = \sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}.<br />
\end{split}<br />
\]

Teza naszego zadania mówi, że

\[<br />
(13) \qquad \sigma_2(a,b,c,d) \geq \sigma_3(a,b,c,d).<br />
\]

Prawdziwe są także nierówności

\[<br />
(14) \qquad \sigma_1(a,b,c,d) \geq \sigma_2(a,b,c,d) \ \textrm{i} \ \sigma_3(a,b,c,d) \geq \sigma_4(0,b,c,d)<br />
\]

(w odróżnieniu od (13), dowody nierówności (14) są całkiem prostym ćwiczeniem).

Nietrudno się domyśleć, że ogólnie, dla $ n $ liczb:

\[<br />
\sigma_1(a_1,\ldots ,a_n) \geq \sigma_2(a_1,\ldots ,a_n) \geq \ldots \geq \sigma_n(a_1,\ldots, a_n).<br />
\]

Są to nierówności McLaurina; dowód można znaleźć na przykład w książce: D.S.Mitrinović Analytic Inequalities, Berlin-Heidelberg-New York 1970 (rozdział 2.15, twierdzenie 4).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź