XXXIX OM - I - Zadanie 1

Dla każdej liczby dodatniej $ a $ wyznaczyć liczbę pierwiastków wielomianu $ x^3+(a+2)x^2-x-3a $.

Rozwiązanie

Oznaczmy rozważany wielomian przez $ F(x) $. Wielomian trzeciego stopnia ma co najwyżej trzy pierwiastki rzeczywiste. Pokażemy, że wielomian $ F $ ma co najmniej trzy pierwiastki rzeczywiste - a więc ma dokładnie trzy pierwiastki rzeczywiste (dla każdej wartości parametru $ a > 0 $).

Wystarczy zauważyć, że

\[<br />
\begin{split}<br />
F(-a-3) 	&=  (a+3)^2(-a-3+a+2)+(a+3)-3a =\\<br />
	  		&= -(a^2+6a+9)-2a+3 = -a^2-8a-6 < 0,\\<br />
F(-2)		&= -8+4(a+2)+ 2-3a = a+2 > 0,\\<br />
F(0) 		&= -3a < 0,\\<br />
F(2) 		&=  8+4(a+2)-2-3a = a+14 > 0.<br />
\end{split}<br />
\]

Jeśli funkcja ciągła o wartościach rzeczywistych przyjmuje w dwóch punktach wartości różnych znaków, to w pewnym punkcie przedziału ograniczonego tymi punktami przyjmuje wartość zero} (własność Darboux).

Stąd wynika, że w każdym, z przedziałów $ (-a-3; -2) $, $ (-2; 0) $, $ (0; 2) $ znajduje się pierwiastek wielomianu $ F $.