XXXIX OM - I - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste $ t $ takie, że funkcja

\[<br />
f(x) = |\sin tx + \cos x|<br />
\]

przyjmuje wartość 2.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że $ f(x) = 2 $ dla pewnego $ x \in \mathbb{R} $. Ponieważ $ |\sin tx| \leq 1 $, $ |\cos x| \leq 1 $, zatem równość taka jest możliwa tylko wtedy, gdy jednocześnie $ |\sin tx| = 1 $, $ |\cos x| = 1 $. Z pierwszego z tych równań wynika, że $ tx = (2m+1)\pi/2 $ (zatem $ x \ne 0 $), z drugiego zaś - że $ x = n\pi $ (zatem $ n \ne 0 $); $ m $ i $ n $ są liczbami całkowitymi. Stąd

\[<br />
t = \frac{2m+1}{2n} \ (m,\ n \ \textrm{całkowite}, n \ne 0).<br />
\]

Na odwrót załóżmy, że $ t $ jest liczbą takiej postaci i przyjmijmy $ x = (-1)^{m+n}n\pi $. Wówczas

\[<br />
\begin{split}<br />
\sin tx = \sin((-1)^{m+n}(2m+1)\pi/2) = (-1)^n,\\<br />
\cos x  = \cos n\pi = (-1)^n \ \textrm{i}\ f(x) = |(-1)^n+(-1)^n| = 2.<br />
\end{split}<br />
\]

Tak więc warunek zadania spełniają liczby $ t $ przedstawianie w postaci ułamka o liczniku nieparzystym, a mianowniku parzystym, i tylko one.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź