XXXIX OM - I - Zadanie 3

Dla danego punktu $ P $ leżącego wewnątrz trójkąta $ ABC $ rozważamy
punkty $ A' $ i $ A'' $ leżące na półprostej $ AP^{\rightarrow} $ tak, że $ A' \in BC $, $ |AA''| = 2|AA'| $;
punkty $ B' $ i $ B'' $ leżące na półprostej $ BP^{\rightarrow} $ tak, że $ B' \in CA $, $ |BB''| = 2|BB'| $;
punkty $ C' $ i $ C'' $ leżące na półprostej $ CP^{\rightarrow} $ tak, że $ C \in AB $, $ |CC''| = 2|CC'| $.
Wyrazić pole trójkąta $ A''B''C'' $ za pomocą pól trójkątów $ ABC $ i $ A'B'C' $.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia: $ |PA| = a $, $ |PB| = b $, $ |PA'| = a' $, $ |PB'| = b' $. Z warunków zadania wynika, że

\[<br />
|PA''| = |PA'| + |A'A''| = |PA'|+|AA'| = a'+(a+a') = a+2a'<br />
\]

i podobnie $ |PB''| = b+2b' $ (rysunek 2).
om39_1r_img_2.jpg
Obliczamy pola trójkątów:

\[<br />
\begin{split}<br />
\textrm{pole}\ (PAB) & =  \frac{1}{2} |PA|  \cdot |PB| \cdot \sin|\measuredangle APB| = \frac{ab}{2} \sin|\measuredangle APB|,\\<br />
\textrm{pole}\ (PA'B) & =  \frac{1}{2} |PA'| \cdot |PB| \cdot \sin|\measuredangle A'PB| = \frac{a'b}{2} \sin|\measuredangle A'PB|,\\<br />
\textrm{pole}\ (PAB') & =  \frac{1}{2} |PA|  \cdot |PB'| \cdot \sin |\measuredangle APB'| = \frac{ab'}{2} \sin|\measuredangle APB'|,\\<br />
\textrm{pole}\ (PA'B') & =  \frac{1}{2} |PA'| \cdot |PB'| \cdot \sin \measuredangle A'PB'| = \frac{a'b'}{2} \sin|\measuredangle A'PB'|,\\<br />
\textrm{pole}\ (PA''B'') & =\frac{1}{2} |PA''|\cdot |PB''| \cdot \sin |\measuredangle A''PB''| =\\<br />
& = \frac{(a+2a')(b+2b')}{2} \cdot \sin|\measuredangle A''PB''|.<br />
\end{split}<br />
\]

Zauważmy teraz, że miary każdych dwóch występujących w tych relacjach kątów albo są równe, albo dopełniają się do $ 180^\circ $. Zatem ich sinusy są równe i otrzymujemy zależności

\[<br />
\begin{split}<br />
\frac{\textrm{pole} (PA'B)}{\textrm{pole} (PAB)} = \frac{a'}{a}, \<br />
\frac{\textrm{pole} (PAB')}{\textrm{pole} (PAB)} = \frac{b'}{b}, \<br />
\frac{\textrm{pole} (PA'B')}{\textrm{pole} (PAB)} = \frac{a'b'}{ab}, \\<br />
\frac{\textrm{pole} (PA''B'')}{\textrm{pole} (PAB)} = \frac{(a+2a')(b+2b')}{ab} \ = 1+2 \left( \frac{a'}{a} + \frac{b'}{b} \right) + 4 \frac{a'b'}{ab}.<br />
\end{split}<br />
\]

Stąd

\[<br />
\begin{split}<br />
(1) \qquad  \textrm{pole} (PA''B'') & = \textrm{pole} (PAB) +\\<br />
& +2 \cdot \textrm{pole} (PA'B)+2 \cdot \textrm{pole} (PAB')+4 \cdot \textrm{pole} (PA'B').<br />
\end{split}<br />
\]

Przez cykliczną zmianę oznaczeń dostajemy analogiczne równości

\[<br />
\begin{split}<br />
(2) \qquad  \textrm{pole} (PB''C'') & = \textrm{pole} (PBC) +\\<br />
& +2 \cdot \textrm{pole} (PB'C)+2 \cdot \textrm{pole} (PBC')+4 \cdot \textrm{pole} (PB'C').\\<br />
(3) \qquad  \textrm{pole} (PC''A'') & = \textrm{pole} (PCA) +\\<br />
& +2 \cdot \textrm{pole} (PC'A)+2 \cdot \textrm{pole} (PCA')+4 \cdot \textrm{pole} (PC'A').<br />
\end{split}<br />
\]

Dodając stronami związki (1), (2), (3) otrzymujemy odpowiedź:

\[<br />
\textrm{pole} (A''B''C'') = 3 \cdot \textrm{pole} (ABC)+4 \cdot \textrm{pole} (A'B'C').<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź