LIX OM - I -Zadanie 11

Punkty $ P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6, P_7 $ leżą odpowiednio na bokach $ BC, CA, AB, BC, CA, AB, BC $
trójkąta $ ABC $, przy czym spełnione są równości

\[<br />
\measuredangle  P_1P_2C =\measuredangle AP_2P_3 =\measuredangle  P_3P_4B =\measuredangle  CP_4P_5 =\measuredangle P_5P_6A=\measuredangle  BP_6P_7 =60^{\circ}.<br />
\]

Dowieść, że $ P_1 = P_7 $.

Rozwiązanie

Niech o będzie okręgiem opisanym na trójkącie $ P_1P_2P_3 $.

Z warunków zadania wynika równość $ \measuredangle P_1P_2P_3 = 60^{\circ} $. To w połączeniu z równością
$ \measuredangle P_3P_4B =60^{\circ} $. dowodzi, że punkt $ P_4 $ leży na okręgu o, niezależnie od tego, czy leży
on na odcinku $ P_1C $ (rys. 4), czy na odcinku $ P_1B $ (rys. 5). Zauważmy ponadto, iż równość $ P_1 = P_4 $
zachodzi jedynie wtedy, gdy okrąg o jest styczny do boku $ BC $.

Dalej, na mocy założeń zadania mamy $ \measuredangle P_5P_4P_3 = 60^{\circ} $ i $ \measuredangle AP_2P_3 = 60^{\circ} $,
skąd wnioskujemy, że punkt $ P_5 $ leży na okręgu $ o $, zarówno wtedy, gdy punkt $ P_5 $ leży na odcinku $ P_2C $
(rys. 6), jak i wtedy, gdy leży on na odcinku $ P_2A $ (rys. 7). Tak jak poprzednio, równość $ P_2 =P_5 $
oznacza, że okrąg o jest styczny do boku $ CA $.

om59_1r_img_4.jpg
om59_1r_img_5.jpg
om59_1r_img_6.jpg
om59_1r_img_7.jpg

Analogicznie dowodzimy, że punkty $ P_6 $ i $ P_7 $ leżą na okręgu $ o $. Wynika stąd, że punkty $ P_1, P_4, P_7 $
leżą jednocześnie na okręgu $ o $ i na boku $ BC $. Jeżeli okrąg ten jest styczny do danego boku, to oczywiście
$ P_1 = P_4 = P_7 $. Jeżeli natomiast okrąg o przecina bok $ BC $ w dwóch różnych punktach, to z przeprowadzonego
rozumowania otrzymujemy $ P_1 \neq P_4 $ i $ P_4 \neq P_7 $, zatem równość $ P_1 = P_7 $ także jest spełniona.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź