XXXIX OM - I - Zadanie 6

Spośród liczb $ 1, 2, \ldots, 3n $ ($ n > 2 $) wybieramy w sposób losowy cztery różne. Wybór każdej czwórki jest jednakowo prawdopodobny. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że suma wybranych liczb dzieli się przez 3.

Rozwiązanie

{Suma czterech liczb całkowitych dzieli się przez $ 3 $ wtedy i tylko wtedy, gdy układ reszt z dzielenia tych liczb przez $ 3 $ ma (z dokładnością do permutacji) jedną z następujących pięciu postaci:

\[<br />
(0, 0, 0, 0),\ (0, 1, 1, 1),\ (0, 2, 2, 2),\ (0, 0,1, 2),\ (1,1, 2,2).<br />
\]

Spośród liczb naturalnych od $ 1 $ do $ 3n $ dokładnie $ n $ liczb daje w dzieleniu przez $ 3 $ resztę $ 0 $; także $ n $ liczb daje resztę $ 1 $ oraz $ n $ liczb daje resztę $ 2 $. Wypisane powyżej konfiguracje reszt są wobec tego reprezentowane odpowiednio przez

\[<br />
\binom{n}{4}, \binom{n}{1}\binom{n}{3}, \binom{n}{1}\binom{n}{3},<br />
\binom{n}{2}\binom{n}{1}\binom{n}{1}, \binom{n}{2}\binom{n}{2}<br />
\]

czteroelementowych podzbiorów zbioru $ \{1, \ldots,3n\} $. Szukane prawdopodobieństwo $ p $ jest ilorazem $ L/M $, gdzie $ L $ oznacza sumę tych pięciu wartości, a $ M $ jest liczbą wszystkich czteroelementowych podzbiorów zbioru $ \{1, \ldots, 3n\} $.

Tak więc

\[<br />
\begin{split}<br />
L & = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24} + 2n \cdot \frac{n(n-1)(n-2)}{6} + n^2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} + \\<br />
& + \left( \frac{n(n-1)}{2} \right)^2 = \frac{n(n-1)}{24} ((n-2)(n-3)+8n(n-2) + 12n^2 + 6n(n-1))=\\<br />
& = \frac{n(n-1)(27n^2-27n+6)}{24},\\<br />
M& = \binom{3n}{4} = \frac{3n(3n-1)(3n-2)(3n-3)}{24} = \frac{9n(n-1)(9n^2-9n+2)}{24},<br />
\end{split}<br />
\]

skąd

\[<br />
p=\frac{L}{M} = \frac{1}{3}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź