XXXIX OM - I - Zadanie 7

Dane jest takie przekształcenie płaszczyzny na płaszczyznę, że obrazem każdego okręgu jest okrąg. Udowodnić, że obrazem każdej prostej jest prosta.

Rozwiązanie

Oznaczmy rozważane przekształcenie przez $ f $. Niech $ l $ będzie dowolną prostą, a $ f(l) $ - jej obrazem w przekształceniu $ f $.

Dowód podanej tezy oprzemy na następujących trzech stwierdzeniach:

  • [(1)] \textrm{Wraz z dowolnymi dwuoma punktami zbiór}\ f(l) \ \textrm{zawiera prostą przechodzącą przez te punkty.}
  • [(2)] \textrm{Zbiór}\ f(l) \ \textrm{zawiera więcej niż jeden punkt.}
  • [(3)] \textrm{Zbiór}\ f(l) \ \textrm{nie jest całą płaszczyzną.}

A oto dowody tych stwierdzeń:

Ad (1). Niech $ P $, $ Q \in f(l) $, $ P \ne Q $. Istnieją więc punkty $ A $, $ B \in l $ takie, że $ P =f(A) $, $ Q = f(B) $. Przypuśćmy, że na prostej $ PQ $ znajduje się punkt $ R $ nie należący do $ f(l) $. Z założenia $ f $ przekształca płaszczyznę na całą płaszczyznę, a więc $ R = f(C) $ dla pewnego punktu $ C $. Skoro zaś $ R \not \in f(C) $, to $ C \not \in l $. Przez punkty $ A $, $ B $, $ C $ można zatem poprowadzić okrąg. Jego obraz w przekształceniu $ f $ zawiera trzy różne współliniowe punkty $ P $, $ Q $, $ R $ - nie jest więc okręgiem, wbrew warunkowi zadania.

Ad (2). Przypuśćmy, że $ f(l) = \{R\} $. Weźmy dowolne dwa punkty $ P $ i $ Q $, współliniowe z $ R $ i różne od $ R $. Istnieją punkty $ A $ i $ B $ takie, że $ P = f(A) $, $ Q = f(B) $. Punkty $ A $ i $ B $ leżą poza prostą $ l $. Zatem znajdzie się na prostej $ l $ punkt $ C $ niewspółliniowy z $ A $ i $ B $. Prowadzimy okrąg przez punkty $ A $, $ B $, $ C $. Jego obraz zawiera trzy różne współliniowe punkty $ P $, $ Q $, $ R $ - sprzeczność.

Ad (3). Przypuśćmy teraz, że $ f(l) $ jest całą płaszczyzną. Niech $ C $ będzie dowolnym punktem nie leżącym na prostej $ l $ i niech $ R =f(C) $. Bierzemy dowolne dwa punkty $ P $, $ Q $, współliniowe z $ R $ i różne od $ R $. Wobec przypuszczenia, że $ f(l) $ jest całą płaszczyzną, punkty $ P $ i $ Q $ są obrazami pewnych punktów $ A $, $ B \in l $. Obraz okręgu przechodzącego przez punkty $ A $, $ B $, $ C $ zawiera trzy różne współliniowe punkty $ P $, $ Q $, $ R $ - sprzeczność.

Dowód tezy zadania. W myśl (2), zbiór $ f(l) $ zawiera co najmniej dwa punkty. Weźmy więc dwa różne punkty $ P $, $ Q \in f(l) $. Na mocy (1) prosta $ PQ $ zawiera się w $ f(l) $. Przypuśćmy, że zbiór $ f(l) $ zawiera jakikolwiek punkt $ R $ leżący poza prostą $ PQ $ - zawiera wówczas całe proste $ PR $ i $ QR $, znów na mocy (1). Brzeg trójkąta $ PQR $ jest więc zawarty w $ f(l) $.

Niech $ X $ będzie dowolnym punktem płaszczyzny. Poprowadźmy przez punkt $ X $ dowolną prostą $ m $ przecinającą brzeg trójkąta $ POR $ w dwóch punktach. Punkty te należą do $ f(l) $, a zatem, zgodnie z (1), prosta $ m $ jest zawarta w $ f(l) $; w szczególności, $ X \in f(l) $. Ponieważ punkt $ X $ był wybrany dowolnie, otrzymujemy sprzeczność z uwagą (3). To znaczy, że zbiór $ f(l) $ jest identyczny z prostą $ PO $.

Wykazaliśmy tym samym, że obrazem prostej $ l $ jest prosta.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź