XXXIX OM - I - Zadanie 8

Dla danego sześcianu o krawędzi długości 1 znaleźć zbiór odcinków o sumie długości nie większej niż $ 1 +3\sqrt{3} $ mający tę własność, że każde dwa wierzchołki sześcianu są końcami pewnej łamanej złożonej z odcinków tego zbioru.

Rozwiązanie

Podamy przykład zbioru odcinków o wymaganej własności. Przykład ten może być uważany za przestrzenny odpowiednik ,,optymalnej sieci dróg wiążącej wierzchołki prostokąta'', skonstruowanej w zadaniu przygotowawczym $ C $. (Wskazówkę do konstrukcji daje spostrzeżenie, że celowe jest poszukiwanie takiego układu odcinków, by w każdym ,,węźle sieci'' schodziły się dokładnie trzy odcinki, leżące w jednej płaszczyźnie i tworzące kąty po $ 120^\circ $, bowiem istnienie węzła jakiejkolwiek innej postaci daje możliwość lokalnej modyfikacji sieci w otoczeniu takiego węzła, prowadzącej do skrócenia sieci.)

Niech $ A_1B_lC_1D_1 $ i $ A_2B_2C_2D_2 $ będą dwiema przeciwległymi ścianami sześcianu, oznaczonymi tak, by odcinki $ A_1A_2 $, $ B_1B_2 $, $ C_1C_2 $, $ D_1D_2 $ były czterema równoległymi krawędziami sześcianu. Oznaczmy środki krawędzi $ A_1B_1 $, $ C_1D_1 $, $ A_2B_2 $, $ C_2D_2 $, odpowiednio przez $ K_1 $, $ L_1 $, $ K_2 $, $ L_2 $, a środki odcinków $ K_1L_1 $ i $ K_2L_2 $ (czyli środki dwóch wymienionych na początku ścian) - przez $ O_1 $ i $ O_2 $ (rysunek 4).
om39_1r_img_4.jpg
Na odcinku $ O_1O_2 $ znajdujemy punkty $ P_1 $ i $ P_2 $ takie, że $ |O_1P_1|= |O_2P_2| = \sqrt{3}/6 $. Wówczas $ |P_1P_2| = 1-\sqrt{3}/3 $. (Odcinki $ K_1P_1 $, $ L_1P_1 $, $ P_1P_2 $, $ P_2K_2 $, $ P_2L_2 $ tworzą w kwadracie $ K_1L_1L_2K_2 $ sieć, o jakiej mowa w zadaniu $ C $; otrzymane kąty o wierzchołkach w punktach $ P_1 $ i $ P_2 $ mają rozwartość po $ 120^\circ $.)

Długość odcinka $ K_1P_1 $ wynosi $ \sqrt{3}/3 $. Niech $ M_1 $ będzie środkiem tego odcinka; zatem $ |K_1M_1| = |M_1P_1| =\sqrt{3}/6 $. (Nietrudno sprawdzić, że teraz odcinki $ M_1A_1 $ i $ M_1B_1 $ tworzą z odcinkiem $ M_1P_1 $ kąty $ 120^\circ $). Odcinki $ A_1M_1 $ i $ B_1M_1 $ mają długości równe $ \sqrt{3}/3 $. Analogicznie, niech $ N_1 $, $ M_2 $, $ N_2 $ będą odpowiednio środkami odcinków $ L_1P_1 $, $ K_2P_2 $, $ L_2P_2 $. Rozważamy zbiór następujących trzynastu odcinków:

\[<br />
\left.<br />
\begin{array}{cccc}<br />
A_1M_1, & B_1M_1, & C_1N_1, & D_1N_1,\\<br />
A_2M_2, & B_2M_2, & C_2N_2, & D_2N_2,<br />
\end{array}<br />
\right\}<br />
\textrm{długości}\ \sqrt{3}/3 \ \textrm{każdy} \\<br />
M_1P_1, N_1P_1, M_2P_2, N_2P_2, \textrm{długości}\ \sqrt{3}/3 \ \textrm{każdy} \\<br />
P_1P_2,\ \textrm{długości} \ 1-\sqrt{3}/3.<br />
\]

Suma ich długości wynosi $ 1+ 3\sqrt{3} $. Znaleźliśmy w ten sposób zbiór odcinków spełniający postawione warunki.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź