XXXIX OM - I - Zadanie 9

Spośród wierzchołków $ n $-kąta foremnego ($ n \geq 4 $) wybrano cztery różne. Wybór każdej czwórki wierzchołków jest jednakowo prawdopodobny. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wszystkie wybrane wierzchołki leżą na pewnym półokręgu (przyjmujemy, że do półokręgu należą jego końce).

Rozwiązanie

Niech $ W $ będzie zbiorem wszystkich $ n $ wierzchołków rozważanego $ n $-kąta foremnego.

Oznaczmy szukane prawdopodobieństwo przez $ P(n) $. Wyraża się ono ułamkiem

\[<br />
P(n)= \frac{L(n)}{M(n)},<br />
\]

którego mianownik jest liczbą wszystkich czteroelementowych podzbiorów zbioru $ W $, a licznik jest liczbą czteropunktowych podzbiorów $ W $ zawartych w półokręgach. Oczywiście

\[<br />
M(n) = \binom{n}{4} = \frac{1}{24} n(n-1)(n-2)(n-3).<br />
\]

Wykażemy poniżej, że licznik dany jest wzorem

\[<br />
(1) \qquad<br />
L(n) = \left\{<br />
\begin{array}{ll}<br />
\frac{1}{48}n^2(n-2)(n-4) & \textrm{dla} \ n \ \textrm{parzystych}\\<br />
\frac{1}{48}n(n-1)(n-3)(n-5) & \textrm{dla} \ n \ \textrm{nieparzystych.}<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Stąd wyniknie odpowiedź na postawione w zadaniu pytanie:

\[<br />
(2) \qquad<br />
P(n) = \left\{<br />
\begin{array}{ll}<br />
\frac{n(n-4)}{2(n-1)(n-3)} & \textrm{dla} \ n \ \textrm{parzystych}\\<br />
\frac{n-5}{2(n-5)} & \textrm{dla} \ n \ \textrm{nieparzystych.}<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Pozostaje udowodnić wzór (1). Dla $ n = 4 $, $ n = 5 $ nie ma czwórki wierzchołków zawartej w półokręgu. Zatem $ L(4) = 0 $, $ L(5) = 0 $, co zgadza się z (1). W dalszym ciągu zakładajmy, że $ n \geq 6 $.

Rozważane w zadaniu półokręgi muszą być zawarte w okręgu opisanym na danym wielokącie. Ustalmy orientację (kierunek obiegu) tego okręgu. Każdy jego półokrąg ma wówczas wyróżniony początek i koniec.

Jeśli $ V $ jest czteropunktowym podzbiorem zbioru $ W $ zawartym w półokręgu, to wśród wszystkich zawierających go półokręgów istnieje dokładnie jeden półokrąg, którego początek jest punktem zbioru $ V $. Oznaczmy ten półokrąg przez $ C_V $.

Niech teraz $ C $ będzie pewnym ustalonym półokręgiem o początku i końcu $ W $ zbiorze $ W $. Liczba czteropunktowych zbiorów $ V \subset W $, dla których $ C_V = C $,
wynosi $ \binom{[n/2]}{3} $ wynika to stąd, że jeden z punktów zbioru $ V $ musi być początkiem półokręgu $ C $, dalsze zaś trzy punkty zbioru $ V $ można wybrać dowolnie spośród pozostałych $ [n/2] $ punktów zbioru $ W $ należących do $ C $.

Ponieważ półokrąg $ C $ można usytuować na okręgu na $ n $ sposobów, liczba rozważanych zbiorów $ V $ wynosi

\[<br />
(3) \qquad  L(n)= n \binom{[n/2]}{3} = \frac{1}{6} n \cdot [\frac{n}{2}] \left( [\frac{n}{2}]-1\right) \left( [\frac{n}{2}]-2\right),<br />
\]

co po krótkim przekształceniu daje dowodzony wzór (1).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź