XXXIX OM - I - Zadanie 10

Wiedząc, że $ x \in \langle 0; \pi/4\rangle $ rozstrzygnąć, która z liczb jest większa:

\[<br />
\tan \sin x \text{ czy } \sin \tan x.<br />
\]

Rozwiązanie

Wykażemy, że większa jest pierwsza z tych liczb (jedynie dla $ x=0 $ zachodzi równość).

Wprowadźmy oznaczenie:

\[<br />
f(x) = \tan \sin x - \sin \tan x.<br />
\]

Obliczamy pochodną funkcji $ f $ w przedziale $ (0; \pi/2) $:

\[<br />
(1) \qquad  f'(x) = \frac{(\cos x)^2-(\cos \sin x)^2 (\cos \tan x)}<br />
						  {(\cos x)^2 (\cos \sin x)^2}<br />
\]

W dalszym ciągu będzie nam potrzebna nierówność

\[<br />
(2) \qquad  \frac{2}{3}\sin x + \frac{1}{3} \tan x>x \ \textrm{dla}\ x \in \left(0; \frac{\pi}{2} \right).<br />
\]

Dowodzimy jej następująco: przyjmijmy

\[<br />
h (x) = 2 \sin x + \tan x-3x.<br />
\]

Pochodna

\[<br />
h'(x)= 2\cos x+ \frac{1}{(cos x)^2} -3 =<br />
\frac{(\cos x-1)^2 (2 \cos x +1)}{\cos x)^2}<br />
\]

jest dodatnia w przedziale $ (0; \pi/2) $. Zatem funkcja $ h $ jest rosnąca w tym przedziale, a ponieważ jest ciągła w punkcie $ 0 $ i $ h(0) = 0 $, to $ h(x) > 0 $ dla $ x \in (0; \pi/2) $. Nierówność (2) jest więc udowodniona.

Funkcja $ \varphi (x) =\cos x $ jest wklęsła w przedziale $ (0; \pi/2) $, to znaczy spełnia nierówność

\[<br />
(3) \qquad  \varphi((1-t)u+tv) \geq (1 - t)\varphi (u)+t\varphi(v)\ \textrm{dla} \ u, v \in (0; \pi/2),\ t \in \langle 0; 1 \rangle<br />
\]

(Obszerniejszy komentarz na temat funkcji wypukłych i funkcji wklęsłych znajdzie Czytelnik na przykład w broszurze ,,{\it XXXVII Olimpiada Matematyczna. Sprawozdanie Komitetu Głównego}'' WSiP 1989, w Uwadze po rozwiązaniu zadania 2 z zawodów I stopnia).

Ustalmy $ x \in (0; \pi/4 \rangle $. Wówczas liczby $ u = \sin x $ i $ v = \tan x $ należą do przedziału $ (0; 1 \rangle $, a więc możemy zastosować nierówność (3) do funkcji $ \varphi (x) = \cos x $ i do tych właśnie liczb $ u $ i $ v $, biorąc $ t = 1/3 $:

\[<br />
(4) \qquad  \cos \left( \frac{2}{3} \sin x + \frac{1}{3} \tan x \right)\geq \frac{2}{3} \cos \sin x+ \frac{1}{3} \cos \tan x.<br />
\]

Ponieważ cosinus jest funkcją malejącą w przedziale $ (0; \pi/2) $, lewa strona ostatniej nierówności jest - z uwagi na (2) - mniejsza od $ \cos x $. Natomiast prawa strona (4), jako średnia arytmetyczna liczb $ a_1 = a_2 = \cos \sin x $ i $ a_3 = \cos \tan x $, jest nie mniejsza od ich średniej geometrycznej. Tak więc nierówność (4) prowadzi do oszacowania:

\[<br />
\cos x > \sqrt[3]{(\cos \sin x)^2 (\cos \tan x)}.<br />
\]

A to oznacza, że pochodna funkcji $ f $, dana wzorem (1), jest dodatnia dla wszystkich $ x \in (0; \pi/4) $. Tak więc funkcja $ f $ jest w tym przedziale rosnąca; a ponieważ jest ciągła w punkcie $ 0 $ i $ f(0) =0 $, zatem ostatecznie $ f(x) > 0 $ dla $ x \in (0; \pi/4 \rangle $.

Stąd odpowiedź:

\[<br />
(5) \qquad  \tan \sin x-\sin \tan x<br />
\left\{<br />
\begin{array}{ccl}<br />
>0 & \textrm{dla} & x \in ( 0; \frac{\pi}{4} \rangle,\\<br />
= 0 & \textrm{dla} & x=0.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź