XXXIX OM - II - Zadanie 1

Niech $ f(x) $ będzie wielomianem, $ n $ - liczbą naturalną. Udowodnić, że jeżeli $ f(x^{n}) $ dzieli się przez $ x-1 $, to dzieli się również przez $ x^{n-1} + x^{n-2} + \ldots + x + 1 $.

Rozwiązanie

Z warunku zadania wynika, że wielomian $ F(x) = f(x'') $ przyjmuje w punkcie $ x = 1 $ wartość $ 0 $. Zatem i wielomian $ f $ przyjmuje w punkcie $ 1 $ wartość $ 0 $. Na mocy twierdzenia Bezout wielomian $ f $ jest więc podzielny przez dwumian $ x-1 $. Innymi słowy, istnieje wielomian $ g $ taki, że $ f(x) = (x-1)g(x) $. Stąd

\[<br />
\begin{split}<br />
F(x) & =f(x^n) = (x^n-1)g(x^n) =\\<br />
= (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+ \ldots +x+1)g(x^n),<br />
\end{split}<br />
\]

co dowodzi tezy zadania.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź