XXXIX OM - II - Zadanie 2

Dane są liczby rzeczywiste $ x_i $, $ y_i $ ($ i = 1, 2, \ldots, n $) takie, że

\[<br />
(1) \qquad x_1 \geq x_2 \geq \ldots \geq x_n \geq 0, \quad<br />
\qquad y_1 > y_2 > \ldots > y_n 0,<br />
\]

oraz

\[<br />
\prod_{i=1}^k x_i \geq \prod_{i=1}^k y_i,\quad \text{ dla }\quad k=1,2,\ldots, n.<br />
\]

Udowodnić, że

\[<br />
\sum_{i=1}^n x_i > \sum_{i=1}^n y_i.<br />
\]

Rozwiązanie

Przepiszmy założenie (2) w postaci

\[<br />
\prod_{i=1}^k \frac{x_i}{y_i} \geq 1 \ \textrm{dla} \ k=1, \ldots,n.<br />
\]

Na mocy nierówności między średnimi mamy więc

\[<br />
nr{3}<br />
\frac{1}{k} \sum_{i=1}^k \frac{x_i}{y_i} \geq \left( \frac{i=1}{k} \frac{x_i}{y_i} \right)^{1/k} \geq 1 \ \textrm{dla} \ k=1, \ldots,n.<br />
\]

Wprowadźmy oznaczenie:

\[<br />
s_k= \sum_{i=1}^k \left( \frac{x_i}{y_i} -1 \right) = \left( \sum_{i=1}^k \frac{x_i}{y_i} \right) - k \ \textrm{dla} \ k=1, \ldots, n<br />
\]

i przyjmijmy dodatkowo $ s_0 = 0 $. Z otrzymanej przed chwilą nierówności (3) wynika, że liczby $ s_k $ są nieujemne. Zauważmy, że

\[<br />
s_k - s_{k-1} = \frac{x_k}{y_k} - 1 = \frac{x_k  -y_k}{y_k},<br />
\]

skąd

\[<br />
x_k-y_k = y_k(s_k-s_{k-1}) \ \textrm{dla} \ k = 1, \ldots, n.<br />
\]

A zatem

\[<br />
\begin{split}<br />
(4) \qquad<br />
\sum_{k=1}^n (x_k - y_k) & = \sum_{k=1}^n y_k (s_k - s_{k-1}) = \\<br />
& = y_1(s_1-s_0)+y_2(s_2-s_1)+\ldots+y_n(s_n-s_{n-1})=\\<br />
& = (y_1y_2)s_1 + (y_2-y_3)s_2 + \ldots + (y_{n-1}-y_n)s_{n-1}+y_ns_n.<br />
\end{split}<br />
\]

Wobec nierówności $ y_1 \geq \ldots \geq y_n $ oraz $ s_k \geq 0 $ otrzymana suma jest nieujemna. Tak więc

\[<br />
\sum_{k=1}^n (x_k-y_k) \geq 0.<br />
\]

A to właśnie mieliśmy wykazać.

Uwaga 1: Zastosowane w końcowej fazie rozumowania przekształcenie (4) polegające na takim przegrupowaniu składników, by zamiast sumy wyrażeń postaci $ y_k \cdot \Delta s_k $ (gdzie $ \Delta s_k = s_k-s{k-1} $) rozważać sumę wyrażeń $ s_k \cdot \Delta y_k $, nosi nazwę przekształcenia Abela. Jest ono często stosowane w różnych zagadnieniach związanych z badaniem ciągów i szeregów liczbowych. Warto zwrócić uwagę na podobieństwo tego przekształcenia do reguły ,,całkowania przez części''.

Uwaga 2: Nie korzystaliśmy nigdzie z założenia monotoniczności ciągu $ (x_i) $. Również w następnych sposobach nie będzie ono nam niepotrzebne.

To znaczy, przyjmujemy warunki (2) oraz (1'):

\[<br />
(1') \qquad y_1 \geq \ldots \geq y_n > 0;\    x_i > 0 \ \textrm{dla} \ i = 1, \ldots, n.<br />
\]

Uwaga 3: Zadanie jest szczególnym przypadkiem następującego ogólnego twierdzenia:

Jeżeli liczby rzeczywiste $ a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n $ spełniają warunki : $ b_1 \geq \ldots \geq b_n $ oraz

\[<br />
(10) \qquad<br />
\sum_{i=1}^k a_i >\sum_{i=1}^k b_i \textrm{dla} \ k= 1,\ldots,n,<br />
\]

to dla dowolnej niemalejącej funkcji wypukłej $ f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ zachodzi nierówność

\[<br />
(11) \qquad  \sum_{i=1}^n f(a_i) \geq \sum_{i=1}^n f(b_i).<br />
\]

(Aby otrzymać nasze zadanie, wystarczy przyjąć $ x_i = e^{a_i} $, $ y_i = e^{b_i} $, $ f(x) = e^x $.)

Jest to twierdzenie Hardy'ego—Littlewooda—Pólya'i (w skrócie H—L—P), a ściślej, jeden z jego wariantów. W oryginalnym (i najczęściej stosowanym) sformułowaniu twierdzenia H—L—P zakłada się dodatkowo, źe także $ a_1 \geq \ldots \geq a_n $ i że nierówność (10) staje się równością dla $ k = n $; za to teza (11) zachodzi wtedy dla dowolnej funkcji wypukłej $ f $, niekoniecznie monotonicznej. W przytoczonym przez nas brzmieniu nosi ono czasem nazwę twierdzenia Tomića lub twierdzenia Weyla; częściej jednak jest uważane za wariant starszego odeń twierdzenia H—L—P (którego dowody dadzą się łatwo przetwarzać na dowody twierdzenia Tomića—Weyla).

Omawiane twierdzenie, w obu tych wersjach, znajdzie Czytelnik wraz z dowodami i komentarzem na przykład w książce: D.S. Mitrinović, Analytic Inequalities; Berlin-Heidelberg-New York 1970 (Ch.2.24, Thms 1, 2). Stosowana tam metoda wykorzystuje przekształcenie Abela (a więc w pewnej mierze koresponduje z rozwiązaniem naszego zadania przedstawionym w sposobie I). Można jednakże, i to bez nadmiernych trudności, uzyskać dowód twierdzenia H—L—P (w którejkolwiek z rozważanych wersji) wzorując się na rozwiązaniu podanym w sposobie II; może to być interesującym zadaniem dla ambitniejszych Czytelników.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź