XXXIX OM - II - Zadanie 4

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ liczba $ n^{2n} - n^{n+2} + n^n - 1 $ jest podzielna przez $ (n - 1 )^3 $.

Rozwiązanie

Oznaczmy:

\[<br />
N = n^{2n}-n^{n+2}+n^n-1, \   m = n-1.<br />
\]

Przyjmijmy, że $ n \geq 2 $, czyli $ m \geq 1 $. Zgodnie z wzorem dwumianowym,

\[<br />
\begin{split}<br />
N & = (m + 1)^{2m+2}-(m+l)^{m+3}+ (m+1)^{m+1}-1 =\\<br />
& = \left[ 1 +\binom{2m+2}{1} m +\binom{2m+2}{2}m^2+Am^3 \right]-\\<br />
& - \left[ 1 +\binom{m+3}{1} m +\binom{m+3}{2}m^2+Bm^3 \right]+\\<br />
& + \left[ 1 +\binom{m+1}{1} m +\binom{m+1}{2}m^2+Cm^3 \right]-1<br />
\end{split}<br />
\]

gdzie $ A $, $ B $, $ C $ są liczbami całkowitymi. Przekształcamy dalej:

\[<br />
\begin{split}<br />
N & = (2m+2)m+(m+1) (2m + 1)m^2+Am^3-\\<br />
& - (m+3)m- \frac{1}{2} (m+3) (m+2)m^2-Bm^3 +\\<br />
+ (m+1)m+ \frac{1}{2}(m+1)m \cdot m^2 + Cm^3 =\\<br />
& = 2m^4 + m^3 + (A-B+C)m^3.<br />
\end{split}<br />
\]

Zatem $ N = Dm^3= D(n - 1)^3 $, gdzie $ D $ jest liczbą całkowitą (oczywiście dla $ n = 1 $ jest to też prawda).

Wykazaliśmy więc, że $ N $ dzieli się przez $ (n - 1)^3 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź