XXXIX OM - II - Zadanie 5

Rozstrzygnąć, czy każdy prostokąt, który można pokryć 25 kołami o promieniu 2 można też pokryć 100 kołami o promieniu 1.

Rozwiązanie

Odpowiedź jest twierdząca. Niech $ R $ będzie prostokątem dającym się pokryć 25 kołami o promieniu 2. Osie symetrii prostokąta $ R $ dzieją go na cztery prostokąty podobne do niego w skali $ 1 /2 $. Każdy z nich możemy pokryć rodziną 25 kół o promieniu 1; wystarczy przekształcić dane 25 kół o promieniu 2 przez jednokładność o skali $ 1/2 $ względem odpowiedniego wierzchołka. Dostajemy w ten sposób 100 kół o promieniu 1 łącznie pokrywających cały prostokąt $ R $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź