XXXIX OM - II - Zadanie 6

Dany jest wielościan wypukły o $ k $ ścianach $ S_1, \ldots, S_k $. Oznaczmy wektor długości 1 prostopadły do ściany $ S_i $ ($ i = 1, \ldots, k $) zwrócony na zewnątrz danego wielościanu przez $ \overrrightarrow{n_i} $, natomiast pole powierzchni tej ściany przez $ P_i $. Dowieść, że

\[<br />
\sum_{i=1}^k P_i \cdot \overrightarrow{n_i} = \overrightarrow{0}.<br />
\]

Rozwiązanie

Rozpoczniemy od uwagi, że jeśli w przestrzeni dany jest dowolny wielokąt płaski wypukły $ S $ oraz płaszczyzna $ \pi $ i jeśli $ \overrightarrow{n} $ jest wektorem długości $ 1 $ prostopadłym do płaszczyzny wielokąta $ S $, a w jest wektorem długości $ 1 $ prostopadłym do płaszczyzny $ \pi $, to oznaczając przez $ W $ rzut prostokątny wielokąta $ S $ na płaszczyznę $ \pi $ mamy następującą zależność między polami wielokątów $ S $ i $ W $:

\[<br />
(1) \qquad  \textrm{pole}\ W = (\textrm{pole}\ S) \cdot |\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{w}|<br />
\]

(kropka między wektorami oznacza iloczyn skalarny).

Wzór (I) jest oczywisty w przypadku, gdy rozważane płaszczyzny są równolegle lub prostopadłe (bo wówczas, odpowiednio, $ |\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{w}| $ równa się $ 1 $ lub $ 0 $). W pozostałym przypadku, gdy płaszczyzny te przecinają się wzdłuż prostej $ l $ tworząc kąt $ \varphi (0 < \varphi < \pi/2 $), wzór (1) wynika z następujących spostrzeżeń:

Gdy $ S $ jest prostokątem o jednym boku równoległym, a drugim prostopadłym do prostej $ l $, jego rzut $ W $ na płaszczyznę $ \pi $ też jest takim prostokątem. Długość boku równoległego do $ l $ nie zmienia się przy rzutowaniu, natomiast długość boku prostopadłego do $ l $ ulega skróceniu w stosunku $ |\cos \varphi| $. W tym samym stosunku zmienia się więc i pole prostokąta; otrzymujemy zatem
dla prostokąta $ S $ wzór (1), bo $ |\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{w} | = |\cos \measuredangle (\overrightarrow{n}, \overrightarrow{w})| = |cos \varphi| $.

Stąd natychmiast wynika prawdziwość (1) dla dowolnego trójkąta prostokątnego o jednej przyprostokątnej równoległej, a drugiej prostopadłej do $ l $, bowiem trójkąt taki można uzupełnić do prostokąta (którego dwoma bokami są przyprostokątne danego trójkąta). Pole prostokąta zmienia się przy rzutowaniu w stosunku $ |cos \varphi| = |\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{w}| $, więc to samo dzieje się z dwukrotnie mniejszym polem trójkąta (rysunek 8).
om39_2r_img_8.jpg
Wystarczy teraz zauważyć, że dowolny wielokąt wypukły $ S $ jest sumą skończonej liczby trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych równoległych i prostopadłych do prostej $ l $, o rozłącznych wnętrzach. Pole $ S $ jest sumą pól tych trójkątów, a pole $ W $ (rzutu $ S $ na $ \pi $) jest sumą pól rzutów poszczególnych trójkątów (rysunek 8). Pole rzutu każdego z tych trójkątów równa się polu trójkąta pomnożonemu przez ten sam współczynnik równy $ |\overrightarrow{n} \cdot\overrightarrow{w}| $ i przez zsumowanie otrzymujemy dowodzony wzór (1).

Przystępujemy do dowodu tezy zadania. Niech

\[<br />
\overrightarrow{v} = P_1 \overrightarrow{n_1} + \ldots +P_k \overrightarrow{n_k}.<br />
\]

Mamy dowieść, że $ \overrightarrow{v} $ jest wektorem zerowym.

Wybierzmy w przestrzeni dowolny wektor $ \overrightarrow{w} $ długości $ 1 $. Niech $ \pi $ będzie dowolną płaszczyzną prostopadłą do wektora $ \overrightarrow{w} $. Rzut prostokątny rozważanego wielościanu na płaszczyznę $ \pi $ jest wielokątem wypukłym $ W $. Rzut dowolnej ściany $ S_i $ jest wielokątem wypukłym $ W_i $ (zdegenerowanym do odcinka, jeśli $ \overrightarrow{n_i} \bot \overrightarrow{w} $).

Rozbijamy zbiór wskaźników $ \{1, \ldots, k\} $ na trzy podzbiory:

\[<br />
I_+ = \{i : \overrightarrow{n_i} \cdot  \overrightarrow{w} > 0\},\quad I_- = \{i :    \overrightarrow{n_i} \cdot \overrightarrow{w} < 0\},<br />
\]
\[<br />
 I_0 = \{i : \overrightarrow{n_i} \cdot \overrightarrow{w} = 0\}.<br />
\]

(Patrząc na wielościan z zewnątrz, w kierunku wektora $ \overrightarrow{w} $, widzimy ściany $ S_i $ o numerach $ i \in I_- $, a nie widzimy ścian o numerach $ i \in I_+ $) (rysunek 9). Rzuty ścian o numerach $ i \in I_+ \cup I_0 $ nie mają wspólnych punktów wewnętrznych i wypełniają cały wielokąt $ W $. To samo można powiedzieć o rzutach ścian o numerach $ i \in I_- \cup I_0 $. Zatem

\[<br />
\textrm{pole} \ W= \sum_{i \in I_+ \cup I_0} \textrm{pole} W_i = \sum_{i \in I_+} \textrm{pole} \ W_i<br />
\]

i jednocześnie

\[<br />
\textrm{pole} \ W= \sum_{i \in I_- \cup I_0} \textrm{pole} W_i = \sum_{i \in I_-} \textrm{pole} \ W_i<br />
\]

Zauważmy teraz, że w myśl wzoru (1),

\[<br />
\textrm{pole}\ W_i = P_i \cdot |\overrightarrow{n_i} \cdot \overrightarrow{w} | =<br />
\left\{\begin{array}{ccl}<br />
P_i \cdot (\overrightarrow{n_i} \cdot \overrightarrow{w}) & \textrm{dla} & i \in I_+\\<br />
0 & \textrm{dla} & i \in I_0\\<br />
-P_i \cdot (\overrightarrow{n_i} \cdot \overrightarrow{w}) & \textrm{dla} & i \in I_-<br />
\end{array}\right.<br />
\]

Wobec tego

\[<br />
\begin{split}<br />
\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} & =<br />
      \left( \sum_{i=1}^k P_i \overrightarrow{n_i} \right) \cdot \overrightarrow{w} =<br />
  		\sum_{i=1}^k   P_i \cdot (\overrightarrow{n_i} \cdot \overrightarrow{w}) = \\<br />
& = \sum_{i \in I_+} P_i \cdot (\overrightarrow{n_i} \cdot \overrightarrow{w})+<br />
 	 \sum_{i \in I_-} P_i \cdot (\overrightarrow{n_i} \cdot \overrightarrow{w})<br />
	+\sum_{i \in I_0} P_i \cdot (\overrightarrow{n_i} \cdot \overrightarrow{w}) =\\<br />
& = \sum_{i \in I_+} \textrm{pole} W_i - \sum_{i \in I_-} \textrm{pole} W_i +0 =\textrm{pole} W-\textrm{pole} W = 0.<br />
\end{split}<br />
\]

Wektor $ \overrightarrow{w} $ był wybrany dowolnie. Wykazaliśmy w ten sposób, że wektor $ \overrightarrow{v} $ jest prostopadły do dowolnego wektora o długości $ 1 $. Jest więc wektorem zerowym.
om39_2r_img_9.jpg

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź