XXXIX OM - III - Zadanie 1

Liczby $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ należące do przedziału $ \langle 0; 1\rangle $ spełniają warunek

\[<br />
\sum_{i=1}^n x_i = m+r,<br />
\]

gdzie $ m $ jest liczbą całkowitą, $ r \in \langle 0; 1) $. Dowieść, że

\[<br />
\sum_{i=1}^n x_i^2 \leq m+r^2<br />
\]

Rozwiązanie

Rozpatrzmy najpierw przypadek szczególny, gdy wszystkie liczby $ x_1, \ldots, x_n $, z wyjątkiem co najwyżej jednej, są równe $ 0 $ lub $ 1 $. Skoro $ x_1 + \ldots +x_n = m + r $, $ m $ całkowite, $ 0 \leq r < 1 $, to (w tym przypadku) dokładnie $ m $ spośród liczb $ x_i $ jest jedynkami, jedna równa się $ r $, a pózostałe są zerami. Tak więc $ x_i^2+ \ldots +x_k^2 = m+r^2 $ i warunek z tezy zadania jest spełniony.

Załóżmy teraz, że istnieją liczby $ x_k, x_l \in (0; 1)\ (k \ne l) $; jeśli takich liczb jest więcej niż dwie, wybieramy dwie dowolne. Określamy nowy układ $ (y_1, \ldots, y_n $) liczb z przedziału $ \langle 0; 1 \rangle $ przyjmując:

\[<br />
\begin{split}<br />
y_i & = x_i \ \textrm{dla} \ i \ne k, l,\\<br />
y_k & = [x_k+x_l],\\<br />
y_1 & = x_k + x_l-[x_k + x_l] = x_k + x_l-y_k.<br />
\end{split}<br />
\]

Suma liczb układu $ (y_1, \ldots, y_n) $ jest taka sama, jak układu $ (x_1, \ldots, x_n) $, natomiast suma kwadratów jest większa:

\[<br />
\begin{split}<br />
\sum_{i=1}^n y_i^2&-\sum_{i=1}^k x_i^2 = y_k^2+y_l^2 - x_k^2 - x_l^2 =\\<br />
&= y_k^2+(x_k + x_l-y_k)^2-x_k^2-x_l^2 =\\<br />
&= 2y_k^2 + (x_k+x_l)^2-2(x_k+x_l)y_k-x_k^2-x_l^2 =\\<br />
&= 2(y_k^2+x_k x_l-x_ky_k-x_ly_k) =\\<br />
&= 2(x_k-y_k)(x_l-y_k) > 0;<br />
\end{split}<br />
\]

ostatnia nierówność wynika z tego, że $ y_k $ równa się $ 0 $ lub $ 1 $, natomiast $ x_k $ i $ x_l $ są liczbami z przedziału $ (0; 1) $.

W układzie $ (y_1, \ldots,y_n) $ jest mniej liczb z przedziału $ (0; 1) $ niż w układzie $ (x_1, \ldots ,x_n) $ (bo $ y_k \in \{0, 1\} $). Jeśli nadal są co najmniej dwie takie liczby, możemy procedurę powtórzyć. Kontynuując to postępowanie, dojdziemy po skończenie wielu krokach do układu $ (z_1, \ldots,z _n) $, $ z_i \in \langle 0; 1 \rangle $, w którym co najwyżej jedna liczba jest różna od $ 0 $ i $ 1 $. W każdym kroku suma kwadratów liczb nowego układu jest większa niż starego, natomiast suma liczb układu pozostaje niezmieniona. Wobec tego

\[<br />
\sum_{i=1}^n z_i = \sum_{i=1}^n x_i m+r, \quad<br />
\sum_{i=1}^n z_i^2 > \sum_{i=1}^n x_i^2.<br />
\]

Układ $ (z_1, \ldots, z_n) $ spełnia warunki przypadku rozpatrywanego na wstępie, a zatem

\[<br />
\sum_{i=1}^n z_i^2 = m+r^2.<br />
\]

Stąd

\[<br />
\sum_{i=1}^k x_i^k \leq m + r^2<br />
\]

w każdym przypadku.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź