XXXIX OM - III - Zadanie 3

Niech $ W $ będzie wielokątem (niekoniecznie wypukłym) mającym środek symetrii. Udowodnić, że istnieje taki równoległobok zawierający $ W $, że środki boków tego równoległoboku należą do brzegu $ W $.

Rozwiązanie

Spośród wszystkich trójkątów $ OAB $, gdzie $ A $, $ B $ są wierzchołkami wielokąta $ W $, a $ O $ - jego środkiem symetrii, wybierzmy trójkąt o maksymalnym polu (są co najmniej cztery takie trójkąty, a może ich być więcej; wybieramy którykolwiek). Niech $ OMN $ będzie wybranym trójkątem i niech $ M' $, $ N' $ będą wierzchołkami wielokąta $ W $ symetrycznymi (odpowiednio) do $ M $, $ N $ względem $ O $. Przez punkty $ M $ i $ M' $ prowadzimy proste $ m $ i $ m' $ równoległe do $ NN' $; przez punkty $ N $ i $ N' $ prowadzimy proste $ n $ i $ n' $ równoległe do $ MM' $ (rysunek 10).

om39_3r_img_10.jpg

Z maksymalności pola trójkąta $ OMN $ wynika, że żaden wierzchołek wielokąta $ W $ nic może leżeć dalej od prostej $ MM' $ niż punkt $ N $, ani też dalej od prostej $ NN' $ niż punkt $ M $. Zatem wszystkie wierzchołki leżą w obrębie równoległoboku $ R $ utworzonego przez proste $ m $, $ m' $, $ n $, $ n' $, a wobec tego $ W \subset R $. Środkami boków $ R $ są punkty $ M $, $ N $, $ M' $, $ N' $, wierzchołki wielokąta. $ R $ jest więc szukanym równoległobokiem.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź