XXXIX OM - III - Zadanie 4

Niech $ d $ będzie liczbą całkowitą dodatnią, a $ f \: \langle 0; d\rangle \to \mathbb{R} $ taką funkcją ciągłą, że $ f(0) = f(d) $. Udowodnić, że istnieje $ x \in \langle 0; d-1\rangle $ takie, że $ f{x) = -f(x + 1) $.

Rozwiązanie

Rozpatrujemy funkcję $ g(x) = f(x+1)-f(x) $ określoną i ciągłą w przedziale $ \langle 0; d-1 \rangle $. Suma

\[<br />
\begin{split}<br />
g(0) + & \ldots +g(d-1) = \\<br />
& = (f(1)-f(0))+ \ldots + (f(d)-f(d-1)) = \\<br />
& = f(d)-f(0)<br />
\end{split}<br />
\]

z założenia jest zerem, a więc albo wszystkie jej składniki są równe zeru, albo pewne dwa składniki są różnych znaków. W każdym razie istnieją liczby całkowite $ a, b \in \langle 0; d-1 \rangle $ takie, że $ g(a) \leq 0 \leq g(b) $. Z ciągłości funkcji $ g $ wynika, że w pewnym punkcie $ x_0 $ należącym do przedziału o końcach $ a $, $ b $ przyjmuje ona wartość $ 0 $ (własność Darboux). Równość $ g(x_0) = 0 $ jest zaś równoważna temu, że $ f(x_0) = f(x_0+1) $. Znaleźliśmy więc punkt $ x_0 \in \langle 0; d-1 \rangle $, o który chodziło w zadaniu.

Uwaga: Nie jest trudno pokazać, że podane twierdzenie nie jest prawdziwe dla żadnej liczby $ d > 1 $, która nie jest całkowita. Wystarczy wziąć dowolną funkcję $ h \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ okresową o okresie $ 1 $, ciągłą i taką, że $ h(0) = 0 $, $ h(d) = d $, i przyjąć $ f(x) = h(x)-x $. Tak określona funkcja spełnia warunek $ f(0) = f(d) $, ale nie spełnia równości $ f(x) = f (x +1) $ dla żadnego $ x $; równość taka bowiem oznaczałaby, że $ h(x+1) = h(x) + 1 $, co jest sprzeczne z założeniem okresowości funkcji $ h $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź