LIX OM - II -Zadanie 1

Wyznaczyć największą możliwą długość ciągu kolejnych liczb całkowitych, z których każdą można przedstawić w
postaci $ x^3 +2y^2 $ dla pewnych liczb całkowitych $ x, y $.

Rozwiązanie

Ciąg pięciu kolejnych liczb całkowitych -1, 0, 1, 2, 3 spełnia warunki zadania: istotnie, mamy

\[<br />
-1=(-1)^3 +2\cdot 0^2,\; 0=0^3 +2\cdot 0^2,\; 1=1^3 +2\cdot 0^2,\;<br />
2=0^3 +2\cdot 1^2,\; 3=1^3 +2\cdot 1^2.<br />
\]

Z drugiej strony, wśród dowolnych sześciu kolejnych liczb całkowitych istnieje liczba, powiedzmy
$ m $, która daje resztę 4 lub resztę 6 z dzielenia przez 8. Liczba $ m $ jest parzysta; gdyby więc istniało przedstawienie
w postaci $ m = x^3 +2y^2 $ dla pewnych liczb całkowitych $ x, y $, to liczba $ x $ byłaby parzysta. Wówczas jednak
uzyskalibyśmy podzielność $ 8|x^3 $ i w efekcie liczby $ m $ i $ 2y^2 $ dawałyby tę samą resztę (4 lub 6) z dzielenia przez 8.
Wobec tego liczba $ y^2 $ dawałaby resztę 2 lub 3 z dzielenia przez 4. Jest to niemożliwe: równości

\[<br />
(2k)^2 =4\cdot k^2,\quad (2k +1)^2 =4\cdot (k^2 +k)+1<br />
\]

dowodzą, że kwadrat liczby całkowitej może dawać przy dzieleniu przez 4 tylko resztę 0 lub 1.

Wykazaliśmy tym samym, że wśród dowolnych sześciu kolejnych liczb całkowitych istnieje liczba, której nie da się przedstawić
w postaci $ x^3 +2y^2 $.

Odpowiedź: Największa możliwa długość takiego ciągu wynosi 5.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź