LIX OM - II -Zadanie 2

W pięciokącie wypukłym $ ABCDE $ spełnione są zależności

\[<br />
\measuredangle ABD &= \measuredangle ACE,& \measuredangle ACB &= \measuredangle ACD, \\<br />
\measuredangle ADC &= \measuredangle ADE,& \measuredangle ADB &= \measuredangle  AEC.<br />
\]

Odcinki $ BD $ i $ CE $ przecinają się w punkcie $ S $. Dowieść, że proste $ AS $ i $ CD $ są prostopadłe.

Rozwiązanie

Z równości

\[<br />
\measuredangle ABD = \measuredangle ACE oraz \measuredangle ADB = \measuredangle AEC<br />
\]

wynika (rys. 1), że trójkąty $ BAD $ i $ CAE $ są podobne (cecha kąt-kąt-kąt). Podobieństwo tych trójkątów
pozwala wnioskować, że

\[<br />
\measuredangle BAC = \measuredangle DAE \text{ oraz } \frac{BA}{DA}= \frac{CA}{EA}<br />
\]

Zależności te dowodzą, że trójkąty $ BAC $ i $ DAE $ są podobne (cecha bok-kąt-bok). W konsekwencji otrzymujemy

\[<br />
(1) \qquad \measuredangle ABC = \measuredangle ADE = \measuredangle ADC.<br />
\]

Ponadto prawdziwa jest zależność

\[<br />
\measuredangle ACB = \measuredangle  ACD<br />
\]

om59_2r_img_1.jpg

która w połączeniu z równością (1) implikuje, że trójkąty $ ABC $ i $ ADC $ są podobne (cecha kąt-kąt-kąt).
Mają one jednak wspólny odpowiedni bok $ AC $. Wobec tego trójkąty te są przystające i symetryczne względem prostej $ AC $.
Stąd wniosek, że proste $ AC $ i $ BD $ są prostopadłe.

Analogicznie dowodzimy, że proste $ AD $ i $ CE $ są prostopadłe. Zatem $ S $ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta
$ CAD $. To oznacza, że prosta $ AS $ zawiera trzecią wysokość tego trójkąta, czyli jest prostopadła do prostej $ CD $.

Komentarze

W rozwiązaniu podane jest:

W rozwiązaniu podane jest:

\qquad \measuredangle ABC = \measuredangle ADE = \measuredangle ADC

Skąd wiadomo, że measuredangle ADC jest równy pozostałym dwóm kątom?

Dodaj nową odpowiedź