XXXVIII OM - I - Zadanie 1

Wielomian $ P(x) = a_0+a_1x+ \ldots +a_nx_n^n $ spełnia warunki $ P(1) = 0 $ oraz $ P(x) \geq 0 $ dla każdego $ x \in \mathbb{R} $. Dowieść, że

\[<br />
a_n+2a_{n-1}+ \ldots +(n+1)a_0 = 0.<br />
\]

Rozwiązanie

Wielomian $ P $ ma w punkcie $ x = 1 $ minimum. Zatem $ P'(1) = 0 $. Mamy więc równości

\[<br />
a_0+a_1+ \ldots +a_{n-1}+a_n = P(1) = 0,<br />
\]
\[<br />
a_1+2a_2+ \ldots + (n-1)a_{n-1}+na_n =  P'(1) = 0.<br />
\]

Mnożąc pierwszą z nich stronami przez $ n+1 $ i odejmując drugą dostajemy

\[<br />
(n+1)a_0+na_1+ \ldots +2_a{n-1}+a_n = 0.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź