XXXVIII OM - I - Zadanie 2

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by liczby dodatnie $ a, b, c $ były długościami boków pewnego trójkąta jest, by spełniały one nierówność $ |a—b| < c < |a+b| $. Sformułować i udowodnić analogiczne warunki konieczne i wystarczające na to, by trzy liczby dodatnie były długościami:

a) wysokości pewnego trójkąta,

b) środkowych pewnego trójkąta.

Rozwiązanie

a) Załóżmy, że liczby $ h_a $, $ h_b $, $ h_c $ są długościami wysokości pewnego trójkąta. Niech $ a $, $ b $, $ c $ będą długościami boków tego trójkąta ($ h_a $ — wysokość opuszczona na bok o długości $ a $ itd.), a $ S $ - jego polem. Z równości $ 2S  =  ah_a= bh_b = ch_c $ wynika, że liczby $ h_a $, $ h_b $, $ h_c $ są - z dokładnością do czynnika $ 2S $ - odwrotnościami długości boków.

Skoro więc $ |a-b|<c<a+b $, to także

\[<br />
(1) \qquad \left| \frac{1}{h_a} -\frac{1}{h_b} \right| < \frac{1}{h_c} < \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b}<br />
\]

Na odwrót, jeśli trzy liczby dodatnie $ h_a $, $ h_b $, $ h_c $ spełniają nierówność podwójną (1) , to istnieje trójkąt $ T' $ o bokach długości $ a' = 1/h_a $, $ b' = 1/h_b $, $ c' = 1/h_c $. Oznaczając przez $ h'_a $, $ h'_b $, $ h'_c $ długości wysokości trójkąta $ T' $, a przez $ S' $ jego pole widzimy, że

\[<br />
h'_a = 2S'/a' = 2 S'h_a,\quad    h'_b = 2 S'h_b,   \quad  h'c = 2 S'h_c.<br />
\]

Trójkąt $ T $ jest podobny do $ T' $ w skali $ 1/2 S' $ ma więc wysokości o długościach $ h_a $, $ h_b $, $ h_c $.

Zatem warunek (1) jest konieczny i dostateczny na to, by liczby $ h_a, h_b, h_c > 0 $ były długościami wysokości pewnego trójkąta.
b) Załóżmy, że liczby $ m_a $, $ m_b $, $ m_c $ są długościami środkowych pewnego trójkąta $ ABC $, poprowadzonych odpowiednio z wierzchołków $ A $, $ B $, $ C $. Niech $ |BC| = a $, $ |CA| = b $, $ |AB| = c $ i niech $ O $ będzie punktem przecięcia środkowych. Oznaczmy przez $ M $ środek boku $ AB $, a przez $ N $ - punkt symetryczny do $ O $ względem punktu $ M $. Czworokąt $ OANB $ jest równoległobokiem (rysunek 1), a więc trójkąt $ OAN $ ma boki o długościach

\[<br />
|OA| = \frac{2}{3} m_a, \quad   |AN| = |OB| = \frac{2}{3}m_b,   \quad  |NO| = 2|OM| = \frac{2}{3} m_c.<br />
\]

Wobec tego trójkąt podobny do $ OAN $ w skali $ 3/2 $ ma boki o długościach $ m_a $, $ m_b $, $ m_c $, skąd wynika, że liczby te muszą spełniać warunek

\[<br />
(2) \qquad |m_a -m_b| <m_c< m_a+m_b.<br />
\]

Na odwrót, jeśli trzy liczby dodatnie $ m_a $, $ m_b $, $ m_c $ spełniają ten warunek, to istnieje trójkąt $ OKL $, w którym $ |KL| = m_a $, $ |LO| = m_b $, $ |OK| = m_c $. Oznaczmy przez $ P $ i $ Q $ punkty symetryczne do $ K $ i $ L $ względem punktu $ O $, po czym uzupełnijmy trójkąty $ OLP $ i $ OQK $ do równoległoboków $ OLUP $, $ OQVK $. Powstaje sześciokąt $ KLUPQV $ zbudowany z sześciu trójkątów przystających do $ OKL $ (rysunek 2).
om38_1r_img_1-2.jpg
Weźmy pod uwagę trójkąt $ UQK $. Oznaczmy środki jego boków $ QK $, $ KU $, $ UQ $ odpowiednio przez $ X $, $ Y $, $ Z $; są to jednocześnie środki odcinków $ OV $, $ OL $, $ OP $. Długości środkowych trójkąta $ UQK $ wynoszą

\[<br />
|UX|=\frac{3}{2} |OU| =\frac{3}{2} m_a,  \quad |QY|=\frac{3}{3}|OQ|=\frac{3}{2} m_b, \quad   |KZ| = \frac{3}{2}|OK| = \frac{3}{2}m_c,<br />
\]

Wobec tego trójkąt podobny do $ UQK $ w skali $ 2/3 $ ma środkowe o długościach $ m_a $, $ m_b $, $ m_c $.

Zatem warunek (2) jest konieczny i dostateczny na to, by liczby $ m_a, m_b, m_c > 0 $ były długościami środkowych pewnego trójkąta.