XXXVIII OM - I - Zadanie 3

Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie

\[<br />
3^n+88=k^2.<br />
\]

Rozwiązanie

Załóżmy, że liczby naturalne $ n $, $ k $ spełniają dane równanie. Dla $ n = 1 $ odpowiednie $ k $ nie istnieje; zatem $ n > 1 $.

Lewa strona równania jest liczbą nieparzystą, więc i liczba k musi być nieparzysta.

Niech $ m = [n/2] $ (część całkowita liczby $ m/2 $). Tak więc $ n = 2m+r $, gdzie $ m > 1 $, a $ r = 0 $ lub $ r = 1 $ w zależności od tego, czy $ n $ jest liczbą parzystą, czy nie. Rozważane równanie przekształcamy następująco:

\[<br />
k^2-3^{2m}3^r=88,<br />
\]
\[<br />
k^2-3^{2m}+3^{2m}(1-3^r)=88,<br />
\]
\[<br />
(k-3^m)(k+3^m)=88-3^{2m}(1-3^r).<br />
\]

W ostatniej równości lewa strona dzieli się przez $ 4 $, jako iloczyn dwóch liczb parzystych. Zatem po prawej stronie składnik $ 3^{2m}(1-3^r) $ musi dzielić się przez $ 4 $, a to zachodzi tylko, gdy $ r = 0 $. Stąd $ n = 2m $ i równanie przybiera postać

\[<br />
(k^2-3^m)(k+3^m) = 88.<br />
\]

Otrzymaliśmy rozkład liczby $ 88 $ na iloczyn dwóch czynników parzystych. Istnieją dwa takie rozkłady: $ 88 = 2 \cdot 44 $ i $ 88 = 4 \cdot 22 $. Różnica czynników ma być jednak liczbą postaci $ 2 \cdot 3^m $. To eliminuje pierwszy z tych rozkładów. Ostatecznie więc musi być

\[<br />
k-3^m = 4, \quad   k+3^m = 22,<br />
\]

skąd

\[<br />
k = 13,   \quad m = 2 (\text{czyli }n = 4).<br />
\]

Para $ n = 4 $, $ k = 13 $ jest rozwiązaniem danego równania.