XXXVIII OM - I - Zadanie 5

Udowodnić, że jeżeli funkcja

\[<br />
f(x) = c_0+a_1 \cos x + b_1 \sin x + a_2 \sin{2x} + b_2 \sin{2x}<br />
\]

ma pięć miejsc zerowych w przedziale $ (0; 2\pi) $, to $ f(x) = 0 $ dla każdego $ x $.

Rozwiązanie

Zgodnie z założeniem, istnieją liczby $ x_i \in (0; 2\pi) $, $ i = 1, 2, 3, 4, 5 $, różne między sobą, takie, że $ f(x_i) = 0 $.

Zastosujemy podstawienie $ t = \ctg(x/2) $. Gdy $ x $ przebiega przedział $ (0; 2\pi) $, $ t $ przebiega przedział $ (-\infty; \infty) $, przy czym różnym wartościom $ x $ odpowiadają różne wartości $ t $. W szczególności liczby $ t = \ctg(x_i/2) $, $ i = 1, 2, 3, 4, 5 $, są wszystkie różne.
Korzystając ze znanych wzorów

\[<br />
\begin{split}<br />
&\sin x = \frac{2t}{t^2+1}, \quad \cos x =\frac{t^2-1}{t^2+1}\\<br />
& \sin 2x = 2\sin x \cos x = \frac{4t(t^2-1)}{(t^2+1)^2}\\<br />
&\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x =\frac{t^4-6t^2+1}{(t^2+1)^2}<br />
\end{split}<br />
\]

przekształcamy wyrażenie definiujące funkcję $ f $ do postaci

\[<br />
g(t) = \frac{P(t)}{(t^2+1)^2}<br />
\]

gdzie $ P $ jest wielomianem stopnia co najwyżej czwartego (znajomość jego współczynników nie będzie nam do niczego potrzebna).

Dokładniej, związek między funkcją $ f $ (zmiennej $ x $) i funkcją $ g $ (zmiennej $ t $) jest taki:

\[<br />
\left.\begin{array}{r}<br />
x\in (0, 2\pi)\\<br />
t=\ctg \frac{x}{2}<br />
\end{array}\right| \Longrightarrow f(x)=g(x).<br />
\]

Skoro $ f(x_i) = 0 $, to $ g(t_i) = 0 $, więc i $ P(t_i) = 0 $ dla $ i = 1, 2, 3, 4, 5 $. Wielomian stopnia $ 4 $ przyjmujący wartość $ 0 $ w pięciu różnych punktach musi być tożsamościowo równy zeru. Zatem $ f(x) = 0 $ dla $ x\in (0; 2\pi) $.

Z ciągłości funkcji trygonometrycznych wynika teraz, że $ f(x) = 0 $ dla $ x \in \langle 0; 2 \pi \rangle $, a z ich okresowości — że $ f(x) = 0 $ dla wszystkich $ x \in \mathbb{R} $.

Uwaga. Nietrudno dowieść, że współczynniki $ c_0 $, $ a_1 $, $ b_1 $, $ a_2 $ $ b_2 $ muszą być wszystkie równe zeru.