XXXVIII OM - I - Zadanie 7

Dane są liczby rzeczywiste nieujemne $ a_1, a_2, \ldots , a_n $, $ x_1, x_2, \ldots , x_n $.
Przyjmujemy $ a = \sum_{i=1}^n a_i $, $ c = \sum_{i=1}^n a_ix_i $. Dowieść, że

\[<br />
\sqrt{a^2+c^2} \leq \sum_{i=1}^n \sqrt{1+x_i^2} \leq a+c<br />
\]

Rozwiązanie

Sposób I

Nierówność $ \sqrt{1+x^2} \leq 1+x $ jest spełniona dla wszystkich $ x > 0 $ (sprawdzenie przez podniesienie do kwadratu, która to operacja, wykonywana w obrębie liczb nieujemnych, daje w wyniku nierówność równoważną wyjściowej). Gdy podstawimy $ x = x_i $, pomnożymy stronami przez $ a_i $ ($ i = 1, \ldots , n $) i przesumujemy, dostaniemy prawą z dowodzonych nierówności. Pozostaje do dowodu lewa nierówność:

\[<br />
(1) \qquad \sqrt{a^2+c^2}\leq \sum_{i=1}^{n}a_i \sqrt{1+x^2_i}.<br />
\]

Pisząc $ c_i = a_ix_i $ przeprowadzamy nierówność (1) do postaci równoważnej:

\[<br />
(2) \qquad \sqrt{a^2+c^2} \leq \sum_{i=1}^n \sqrt{a_i+c_i}.<br />
\]

Oznaczmy lewą i prawą stronę (2) przez $ L $ i $ P $. Przekształcamy:

\[<br />
\begin{split}<br />
L^2 & = \left( \sum_i a_i \right)^2 + \left( \sum_i c_i \right)^2 = \\<br />
& = \sum_i a_i^2 + 2 \sum_{i<j} a_ia_j + \sum_i c_i^2 + 2\sum_{i<j} c_ic_j,\\<br />
P^2 & = \sum_i \left( a_i^2 + c_i^2 \right) + 2 \sum_{i<j}<br />
\sqrt{\left( a_i^2 + c_i^2 \right)\left( a_j^2 + c_j^2 \right)},<br />
\end{split}<br />
\]

skąd

\[<br />
P^2-L^2 = 2 \sum_{i<j} (\sqrt{(a_i^2+c_i^2)(a_j^2+c_j^2)}-a_ia_j-c_ic_j).<br />
\]

Ponieważ $ \sqrt{(s^2+t^2)(u^2+v^2)} \geq su+tv $ dla każdej czwórki liczb nieujemnych $ s $, $ t $, $ u $, $ v $ (sprawdzenie przez podniesienie do kwadratu), zatem wszystkie składniki otrzymanej sumy są nieujemne. Wobec tego $ L^2 \leq P^2 $, a stąd $ L \leq P $ (jako, że $ L, P \geq 0 $).

Sposób II

Nierówność (2) orzeka po prostu, że suma długości $ n $ wektorów (o współrzędnych $ a_i $, $ c_i $) nie jest mniejsza od długości wektora będącego ich sumą. Jest to uogólniona nierówność trójkąta, wynikająca przez natychmiastową indukcję ze zwykłej nierówności trójkąta (przypadek $ n = 2 $).