LIX OM - II -Zadanie 3

Wyznaczyć wszystkie takie funkcje $ f $, określone na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych i przyjmujące
wartości rzeczywiste, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x $ i $ y $ zachodzi równość

\[<br />
(1)\qquad f(f(x)-y)= f(x)+f(f(y)-f(-x))+x.<br />
\]

Rozwiązanie

Oznaczmy $ c = f(0) $. Podstawiając $ x = y = 0 $ w równości (1) otrzymujemy zależność $ f(c)= f(f(0)) = 2f(0) = 2c $. Następnie
kładąc $ x =0 $ i $ y = c $ stwierdzamy, że

\[<br />
c = f(0) = f(0)+f(f(c)-c)+0 = c +f(2c-c)= c+f(c)=3c.<br />
\]

Wynika stąd, że $ c = 0 $, czyli $ f(0) = 0 $.

Przyjmując teraz w warunku (1) wartość $ x = 0 $ widzimy, że

\[<br />
(2) \qquad f(-y)= f(f(y)) \text{ dla każdej liczby rzeczywistej } y.<br />
\]

Podstawmy z kolei $ y = f(x) $ w równości (1). Wówczas na mocy własności (2) dla dowolnej wartości $ x $ dostajemy zależność

\[<br />
\begin{split}<br />
0 &= f(0) = f(f(x)-f(x)) = f(x)+f(f(f(x))-f(-x))+x = \\<br />
&= f(x)+f(f(-x)-f(-x))+x = f(x)+f(0)+x = f(x)+x.<br />
\end{split}<br />
\]

Stąd $ f(x)=-x $ dla każdej liczby rzeczywistej $ x $ i pozostaje bezpośrednio sprawdzić, że funkcja dana tym wzorem
istotnie ma żądane własności.

Odpowiedź: Jedyną funkcją spełniającą warunki zadania jest $ f(x)= -x $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź