XXXVIII OM - I - Zadanie 9

W pięciokącie wypukłym $ KLMNP $ prowadzimy przekątne, które przecinając się wyznaczają rozłączne odcinki: na przekątnej $ KM $ w kolejności od $ K $ do $ M $ odcinki o długościach $ a_1, b_1, c_1 $; podobnie $ a_2, b_2, c_2 $ na przekątnej $ LN $, $ a_3, b_3, c_3 $ na przekątnej $ MP $, $ a_4, b_4, c_4 $ na przekątnej $ NK $, $ a_5, b_5, c_5 $na przekątnej $ PL $. Dowieść, że

\[<br />
\prod_{i=1}^5 \frac{c_i}{b_i+c_i} = \prod_{i=1}^5 \frac{a_i}{a_i+b_i}<br />
\]

Rozwiązanie

Zmieniamy oznaczenie wierzchołków $ L $, $ M $, $ N $, $ P $, $ K $ odpowiednio na $ A_1 $, $ A_2 $, $ A_3 $, $ A_4 $, $ A_5 $. Wprowadzamy dalsze oznaczenia (rysunek 9):

\[<br />
B_i = \textrm{punkt przecięcia przekątnych $A_{i-2}A_{i+1}$ i $A_{i-1}A_{i+2}$},<br />
\]
\[<br />
\phi_i = |\measuredangle A_{i-2}B_iB_{i+1} | = |\measuredangle A_{i-2}B_iB_{i-1} |.<br />
\]
\[<br />
\psi_i=|\measuredangle A_{i-2}A_iA_{i+2} |<br />
\]

dla $ i = 1, 2, 3, 4, 5 $; dodawanie $ i\pm 1 $, $ i\pm 2 $ w indeksach należy wszędzie rozumieć modulo $ 5 $.
om38_1r_img_9.jpg
Wówczas

\[<br />
a_i = |A_{i-1}B_{i+2}|, \quad   b_i = |B_{i+2}+B_{i-2}|,   \quad c_i = |B_{i-2}A_{i+1}|.<br />
\]

Ze wzoru sinusów zastosowanego do trójkątów $ B_{i-2}A_iB_{i+2} $ otrzymujemy (rysunek 10):

\[<br />
(1) \qquad \frac{a_{i+1}}{\sin \phi_{i+2}} = \frac{c_{i-1}}{\sin \phi_{i-2}} \quad \textrm{dla } i= 1, 2, 3, 4, 5.<br />
\]

om38_1r_img_10.jpg
Z tego samego wzoru zastosowanego do trójkątów $ A_{i-1}B_iA_{i+1} $ mamy

\[<br />
(2) \qquad \frac{b_{i-1}+c_{i-2}}{\sin \psi_{i+1}} = \frac{a_{i+2}+b_{i+2}}{\sin \psi_{i-1}} \quad \textrm{dla } i= 1, 2, 3, 4, 5.<br />
\]

Mnożąc stronami pięć równości (1) oraz pięć równości (2) dostajemy

\[<br />
\prod_{i=1}^5 a_i = \prod_{i=1}^5 c_i \quad \textrm{oraz} \quad \prod_{i=1}^5 (b_i+c_i)=\prod_{i=1}^5 (a_i+b_i)<br />
\]

skąd natychmiast wynika teza zadania.