XXXVIII OM - II - Zadanie 1

Z urny zawierającej jedną kulę oznaczoną numerem 1, dwie kule oznaczone numerem 2, ..., $ n $ kul oznaczonych numerem $ n $ wyciągamy bez zwracania dwie kule. Przyjmujemy, że wyciągnięcie każdej kuli z urny jest jednakowo prawdopodobne. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że obie wyciągnięte kule mają ten sam numer.

Rozwiązanie

Aby treść zadania miała sens, trzeba przyjąć, że $ n \geq 2 $.

Razem w urnie jest $ N = 1+2+ ... +n = n(n+1)/2 $ kul. Dwie kule można wybrać spośród $ N $ kul na $ q $ sposobów, gdzie

\[<br />
(1) \qquad<br />
\begin{split}<br />
q= \binom{N}{2}&=\frac{1}{2}N(N-1)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}\cdot \frac{n^2+n-2}{2}=\\<br />
&=\frac{1}{8}n(n+1)(n-1)(n+2).<br />
\end{split}<br />
\]

Ustalmy $ k \in \{2, \ldots,n\} $. Spośród $ k $ kul oznaczonych numerem $ k $ możemy wybrać parę kul na $ \binom{k}{2} $ sposobów. Łączna liczba możliwości wyboru pary kul o jednakowym numerze (spośród wszystkich $ N $ kul) wynosi

\[<br />
(2) \qquad \sum{k=2}{n} \binom{k}{2}=\binom{n+1}{3}=\frac{1}{6}(n+1)n(n-1).<br />
\]

A oto indukcyjny dowód wzoru (2): wzór jest słuszny dla $ n = 2 $; zakładając jego prawdziwość dla pewnego $ n \geq 2 $ mamy dla $ n+1 $

\[<br />
\sum_{k=2}^{n+1} \binom{k}{2} = \sum_{k=2}^{n} \binom{k}{2}+\binom{n+1}{2}=\binom{n+1}{3}+\binom{n+1}{2}=\binom{n+2}{3};<br />
\]

wzór (2) jest więc udowodniony.
Szukane prawdopodobieństwo jest ilorazem znalezionej liczby (wzór(2)) przez $ q $ (wzór (1)), czyli równa się $ \dfrac{4}{3(n+2)} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź