XXXVIII OM - II - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie pary liczb rzeczywistych $ a, b $, dla których wielomiany $ x^4 + 2ax^2 + 4bx + a^2 $ i $ x^3 + ax - b $ mają dwa różne wspólne pierwiastki rzeczywiste.

Rozwiązanie

Oznaczmy rozważane wielomiany przez $ P $ i $ Q $:

\[<br />
(1) \qquad P(x) = x^4+2ax^2+4bx+a^2, \quad       Q(x) = x^3+ax+b.<br />
\]

Załóżmy, że wielomiany $ P $ i $ Q $ mają wspólne pierwiastki rzeczywiste $ x_1 $, $ x_2 $ ($ x_1\neq x_2 $). Liczby $ x_1 $ $ x_2 $ są wówczas także pierwiastkami wielomianu

\[<br />
T(x) = P(x)-xQ(x) = ax^2+3bx+a^2.<br />
\]

Stąd $ a \neq 0 $ i $ \Delta = 9b^2--4a^3 > 0 $.
Zgodnie z wzorami Viete'a

\[<br />
x_1+x_2=-\frac{3b}{a},\quad x_1x_2=a.<br />
\]

Ponieważ $ Q(x_1) = Q(x_2) = 0 $, a $ x_1 \neq x_2 $, zachodzą równości

\[<br />
\begin{split}<br />
0&=\frac{Q(x_1)-Q(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{x_1^3-x_2^3+ax_1-ax_2}{x_1-x_2}=\\<br />
&=x_1^2+x_1x_2+x_2^2+a=(x_1+x_2)^2-x_1x_2+a=\left(-\frac{3b}{a} \right)^2<br />
\end{split}<br />
\]

Zatem $ b = 0 $ i $ 0 < \Delta = -4a^3 $, czyli $ a < 0 $.

Także i odwrotnie: jeśli spełnione są warunki $ a < 0 = b $, to wielomiany $ P $ i $ Q $ przybierają postać

\[<br />
P(x) = x^4+2ax^2+a^2 = (x^2+a)^2,  \quad   Q(x) = a^3+ax = x(x^2+a)<br />
\]

i liczby $ \sqrt{-a} $, $ -\sqrt{-a} $ są ich wspólnymi pierwiastkami.

Rozwiązaniem zadania są więc wszystkie pary postaci $ (a, 0) $, gdzie $ a < 0 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź