XXXVIII OM - II - Zadanie 5

Wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze $ p $ i liczby naturalne $ x, y $, dla których $ p^x—y^3 = 1 $.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczby $ p $, $ x $, $ y $ spełniają podane warunki. Wtedy

\[<br />
(1) \qquad p^x =y^3+1 = (y+1)(y^2-y+1).<br />
\]

Rozpatrzmy dwa przypadki:

1. $ y = 1 $. Wtedy (1) sprowadza się do równania $ p^x = 2 $, skąd $ p = 2 $, $ x = 1 $.

2. $ y > 1 $. Wtedy oba czynniki iloczynu po prawej stronie (1) są liczbami większymi od $ 1 $ i jako dzielniki potęgi liczby pierwszej $ p $ muszą same być dodatnimi potęgami tejże liczby:

\[<br />
(2) \qquad y + 1 = p^k,\quad y^2-y+1 = p^l;\quad k, l > 0, k+l = x.<br />
\]

Zauważmy teraz, że

\[<br />
(3) \qquad p^l=y^2-y+1 = (y+1)(y-2)+3 = p^k(p^k-3)+3.<br />
\]

Zatem $ 3 $ jest liczbą podzielną przez $ p $, co oznacza, że $ p = 3 $. Równanie (3) przybiera postać

\[<br />
3^l = 3^k(3^k-3)+3,<br />
\]

czyli

\[<br />
3^{l-1} = 3^{2k-1}-3^k+1<br />
\]

Prawa strona ostatniego równania nie dzieli się przez $ 3 $. Stąd $ l - 1 = 0 $ oraz $ 2k-1=k $, czyli $ k = l = 1 $ i na mocy zależności (2) $ x = 2 $, $ y = 2 $.

Reasumując: rozwiązaniami $ (p, x, y) $ danego równania mogą być tylko trojki $ (2, 1, 1) $ oraz $ (3, 2, 2) $. Sprawdzenie, że istotnie są to rozwiązania, jest natychmiastowe.

Komentarze

błąd

błąd w treści zadania (chyba p^x=y^3+1 powinno być)

Dodaj nową odpowiedź