- LX OM
- LIX OM
- LVIII OM
- LVII OM
- LVI OM
- LV OM
- LIV OM
- LIII OM
- LII OM
- LI OM
- L OM
- XLIX OM
- XLVIII OM
- XLVIII OM - I etap
- XLVIII OM - I - Zadanie 1
- XLVIII OM - I - Zadanie 2
- XLVIII OM - I - Zadanie 3
- XLVIII OM - I - Zadanie 4
- XLVIII OM - I - Zadanie 5
- XLVIII OM - I - Zadanie 6
- XLVIII OM - I - Zadanie 7
- XLVIII OM - I - Zadanie 8
- XLVIII OM - I - Zadanie 9
- XLVIII OM - I - Zadanie 10
- XLVIII OM - I - Zadanie 11
- XLVIII OM - I - Zadanie 12
- XLVIII OM - II etap
- XLVIII OM - III etap
- XLVIII OM - I etap
- XLVII OM
- XLVI OM
- XLV OM
- XLIV OM
- XLIII OM
- XLII OM
- XLI OM
- XL OM
- XXXIX OM
- XXXVIII OM
- XXXVIII OM - I etap
- XXXVIII OM - I - Zadanie 1
- XXXVIII OM - I - Zadanie 2
- XXXVIII OM - I - Zadanie 3
- XXXVIII OM - I - Zadanie 4
- XXXVIII OM - I - Zadanie 5
- XXXVIII OM - I - Zadanie 6
- XXXVIII OM - I - Zadanie 7
- XXXVIII OM - I - Zadanie 8
- XXXVIII OM - I - Zadanie 9
- XXXVIII OM - I - Zadanie 10
- XXXVIII OM - I - Zadanie 11
- XXXVIII OM - I - Zadanie 12
- XXXVIII OM - II etap
- XXXVIII OM - III etap
- XXXVIII OM - I etap
- XXXVII OM
- XXXVII OM - I etap
- XXXVII OM - I - Zadanie 1
- XXXVII OM - I - Zadanie 2
- XXXVII OM - I - Zadanie 3
- XXXVII OM - I - Zadanie 4
- XXXVII OM - I - Zadanie 5
- XXXVII OM - I - Zadanie 6
- XXXVII OM - I - Zadanie 7
- XXXVII OM - I - Zadanie 8
- XXXVII OM - I - Zadanie 9
- XXXVII OM - I - Zadanie 10
- XXXVII OM - I - Zadanie 11
- XXXVII OM - I - Zadanie 12
- XXXVII OM - II etap
- XXXVII OM - III etap
- XXXVII OM - I etap
- XXXVI OM
- XXXV OM
- XXXIV OM
- XXXIII OM
- XXXIII OM - I etap
- XXXIII OM - I - Zadanie 1
- XXXIII OM - I - Zadanie 2
- XXXIII OM - I - Zadanie 3
- XXXIII OM - I - Zadanie 4
- XXXIII OM - I - Zadanie 5
- XXXIII OM - I - Zadanie 6
- XXXIII OM - I - Zadanie 7
- XXXIII OM - I - Zadanie 8
- XXXIII OM - I - Zadanie 9
- XXXIII OM - I - Zadanie 10
- XXXIII OM - I - Zadanie 11
- XXXIII OM - I - Zadanie 12
- XXXIII OM - II etap
- XXXIII OM - III etap
- XXXIII OM - I etap
- XXXII OM
- XXXI OM
- XXX OM
- XXIX OM
- XXVIII OM
- XXVII OM
- XXVI OM
- XXV OM
- XXIV OM
- XXIII OM
- XXII OM
- XXI OM
- XX OM
- XIX OM
- XVIII OM
- XVII OM
- XVI OM
- XV OM
- XIV OM
- XIII OM
- XII OM
- XI OM
- X OM
- IX OM
- VIII OM
- VII OM
- V OM
- VI OM
- IV OM
- III OM
- II OM
- I OM
- Skład komitetów Olimpiady
- Zawody stopnia I (przygotowawcze)
- Zadania z pierwszej olimpiady matematycznej
- I OM - B
- I OM - B - Zadanie 1
- I OM - B - Zadanie 2
- I OM - B - Zadanie 3
- I OM - B - Zadanie 4
- I OM - B - Zadanie 5
- I OM - B - Zadanie 6
- I OM - B - Zadanie 7
- I OM - B - Zadanie 8
- I OM - B - Zadanie 9
- I OM - B - Zadanie 10
- I OM - B - Zadanie 11
- I OM - B - Zadanie 12
- I OM - B - Zadanie 13
- I OM - B - Zadanie 14
- I OM - B - Zadanie 15
- I OM - B - Zadanie 16
- I OM - B - Zadanie 17
- I OM - B - Zadanie 18
- I OM - B - Zadanie 19
- I OM - B - Zadanie 20
- I OM - I etap
- I OM - II etap
- I OM - III etap
- I OM - B
XXXVIII OM - III - Zadanie 2
W okrąg o długości 1 wpisano -kąt foremny. Spośród łuków okręgu mających końce w wierzchołkach tego wielokąta losujemy ze zwracaniem pięć łuków
, przy czym dla wszystkich łuków prawdopodobieństwo wylosowania jest jednakowe. Wykazać, że wartość oczekiwana długości części wspólnej
nie zależy od
.
Rozwiązanie
Wierzchołki wielokąta dzielą okrąg na łuków długości
. Ponumerujmy te łuki:
. Oznaczmy przez
zbiór, z którego dokonuje się losowania. Elementami zbioru
są łuki danego okręgu, z których każdy ma dwa końce, będące różnymi wierzchołkami rozważanego wielokąta (patrz: Uwaga). Innymi słowy: łuk
danego okręgu jest elementem zbioru
wtedy i tylko wtedy, gdy jest sumą m łuków
gdzie
.
Ustalmy numer . Wybierzmy losowo jeden łuk
. Prawdopodobieństwo tego, że łuk
zawiera ustalony łuk
równa się
:
![]() |
Wynika to stąd, że każda para wierzchołków wielokąta wyznacza dwa różne łuki, z których dokładnie jeden zawiera , a zatem te łuki
, które zawierają nasz łuk stanowią dokładnie połowę w zbiorze
.
Rozważane w zadaniu doświadczenie polega na wylosowaniu pięciu łuków , z dopuszczeniem powtórzeń. Przyjmujemy, że losowania są niezależne: prawdopodobieństwo tego, że część wspólna wylosowanych łuków zawiera ustalony łuk
równa się iloczynowi prawdopodobieństw (1), branych kolejno dla
:
![]() |
Dla niech
oznacza zmienną losową określoną następująco:
![]() |
Wobec równości (2) wartość oczekiwana tej zmiennej wynosi
![]() |
Część wspólna może być zbiorem pustym, zbiorem jednopunktowym lub sumą pewnej liczby łuków
. Jej długość - czyli badana zmienna losowa
- równa się liczbie zawartych w owej sumie łuków
, pomnożonej przez
(wspólną długość wszystkich
)- Zatem
przyjmuje wartość
wtedy i tylko wtedy, gdy dokładnie
spośród zmiennych losowych
ma wartość
, a reszta
. Wobec tego
i w konsekwencji wartość oczekiwana zmiennej
równa się średniej arytmetycznej wartości (3), czyli
![]() |
Otrzymana liczba, jak widać, nie zależy od .
Uwaga. Ze sformułowania treści zadania nie wynika jednoznacznie, czy słowo ,,końce'' użyte w liczbie mnogiej niesie w sobie informację, że każdy z rozważanych łuków ma dwa różne końce - a więc, czy nie są dopuszczone do rozważań łuki ,,niewłaściwe'', o końcach pokrywających się, a tym samym redukujące się do pojedynczego punktu, lub przeciwnie, będące całym okręgiem. Na pytania uczestników zawodów w tej sprawie udzielano odpowiedzi, że łuki ,,niewłaściwe'' nie są brane pod uwagę - czyli tak, jak w podanym wyżej rozwiązaniu. Warto jednak zauważyć, że wynik i całe rozumowanie nie zmieni się, gdy włączymy do zbioru
. łuki ,,niewłaściwe'', pod warunkiem, że przyjmiemy istnienie
łuków jednopunktowych i także w łuków otrzymanych przez obieg całego okręgu (początek i koniec w którymkolwiek wierzchołku). Nadal bowiem każdy z łuków
, będzie zawarty dokładnie w połowie łuków z
, dzięki czemu pozostanie w mocy wzór (1).
Zaznaczmy jeszcze, że również założenie niezależności kolejnych pięciu losowań jest tu przyjmowane milcząco.
Komentarze
Dodaj nową odpowiedź