XXXVIII OM - III - Zadanie 3

Dany jest wielomian $ W $ o współczynnikach całkowitych nieujemnych. Określamy ciąg liczb $ (p_n) $, gdzie $ p_n $ jest sumą cyfr liczby $ W(n) $. Dowieść, że pewna liczba występuje w ciągu $ (p_n) $ nieskończenie wiele razy.

Rozwiązanie

Niech $ W(x) = a_mx^m + \ldots +a_1x+a_0 $ ($ a_i $ - całkowite nieujemne) i niech $ q $ będzie liczbą cyfr w zapisie dziesiętnym największej z liczb $ a_0, \ldots, a_m $. Niech $ \overline{a_i} $ oznacza $ q $-cyfrowy zapis dziesiętny liczby $ a_i $; gdy $ a_i $ ma mniej niż $ q $ cyfr, piszemy na początku zera. Wówczas dla $ r > q $ przedstawienie dziesiętne liczby $ W(10^r) $ ma postać

\[<br />
\overline{a_m\vphantom{b}}\, \overline{b}\, \overline{a_{m-1}\vphantom{b}}\,\overline{b}\ldots \overline{b} \overline{a_1\vphantom{b}}\,\overline{b}\,\overline{a_0\vphantom{b}},<br />
\]

gdzie $ \bar{b} $ jest blokiem złożonym z $ r-q $ zer. Suma cyfr każdej z tych liczb równa się sumie cyfr wszystkich współczynników wielomianu $ W $. Jest to więc wspólna wartość wszystkich wyrazów ciągu $ (p_n) $ o numerach $ n = 10^r $, $ r \leq q $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź