XXXVIII OM - III - Zadanie 5

Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną $ n $, dla której liczba $ n^2-n+11 $ jest iloczynem czterech liczb pierwszych (niekoniecznie różnych).

Rozwiązanie

Niech $ f(x) = x^2-x+11 $. Wartości przyjmowane przez funkcję $ f $ dla argumentów całkowitych są liczbami całkowitymi niepodzielnymi przez $ 2 $, $ 3 $, $ 5 $, $ 7 $. Przekonujemy się o tym badając reszty z dzielenia $ n $ i $ f(n) $ przez te cztery początkowe liczby pierwsze:

\begin{tabular}{lllll}
&\multicolumn{4}{l}{Reszty z dzielenia:}\\
&przez 2&przez 3&przez 5&przez 7\\
$ n $&0 1&0 1 2 &0 1 2 3 4&0 1 2 3 4 5 6\\
$ f(n) $&1 1&2 2 1&1 1 3 2 3& 4 4 6 3 2 3 6
\end{tabular}

Zatem dowolna liczba $ N $ będąca wartością $ f $ dla argumentu naturalnego i spełniająca podany w zadaniu warunek musi mieć postać $ N = p_1p_2p_3p_4 $, gdzie czynniki $ p_i $ są liczbami pierwszymi $ \geq 11 $.

Najmniejsza z takich liczb $ N= 11^4 $ prowadzi do równania kwadratowego $ x^2-x+11=11^4 $ o pierwiastkach niewymiernych. Ale już druga z kolei $ N = 11^3 \cdot 13 $ jest równa wartości $ f(132) $. Funkcja $ f $ jest ściśle rosnąca w przedziale $ \langle 1/2; \infty) $ wobec czego znaleziona minimalna możliwa wartość $ N $ wyznacza minimalną możliwą wartość $ n $. Stąd odpowiedź: $ n = 132 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź