XXXVII OM - I - Zadanie 1

Niech liczby naturalne $ a_n $ i $ b_n $ spełniają równość

\[<br />
a_n+b_n\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^n.<br />
\]

Obliczyć $ \lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n} $.

Rozwiązanie

Znajdziemy zależność rekurencyjną między wyrazami ciągów $ (a_n) $ i $ (b_n) $. Zauważmy, że

\[<br />
\begin{split}<br />
a_{n+1}+b_{n+1}\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^{n+1} = (2+ \sqrt{3})^n (2+ \sqrt{3}) =\\<br />
= (a_n+b_n\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = (2a_n+3b_n)+(a_n+2b_n)\sqrt{3}.<br />
\end{split}<br />
\]

Stąd $ (2a_n+3b_n-a_{n+1}) = (a_{n}+2b_n-b_{n+1})\sqrt{3} $ i z niewymierności liczby $ \sqrt{3} $ wnosimy, że w ostatniej równości obie strony muszą być zerami.

Zatem

\[<br />
(1) \qquad<br />
\left\{<br />
\begin{array}{rcl}<br />
a_{n+1} &=& 2a_n+3b_n, \\<br />
b_{n+1} &=& a_{n}+2_n<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\left\{<br />
\begin{array}{rcl}<br />
a_1 &=& 2 \\<br />
b_1 &=& 1.<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
\]

Dalsze rozumowanie poprowadzimy dwoma sposobami.

Sposób I.

Rozważmy ciąg $ (y_n) $ o wyrazach $ y_n = a_n-b_n\sqrt{3} $. Zgodnie z (1),

\[<br />
\begin{split}<br />
y_{n+1} = (2a_n+3b_n)-(a_n+2b_n)\sqrt{3} = \\<br />
= a_n (2- \sqrt{3})-b_n (2- \sqrt{3}) \sqrt{3}= y_n (2- \sqrt{3}),<br />
\end{split}<br />
\]

a ponieważ $ y_1 = 2 - \sqrt{3} $, dostajemy wzór

\[<br />
(2) \qquad y_n = a_n-b_n \sqrt{3}= (2-\sqrt{3})^n.<br />
\]

(Do równości (2) można też było dojść badając rozwinięcia $ (2 \pm \sqrt{3})^n $ według wzoru dwumianowego Newtona).

Iloraz $ a_n/b_n $ przekształcamy do postaci

\[<br />
(3) \qquad \frac{a_n}{b_n} = \frac{y_n+b_n\sqrt{3}}{b_n} = \frac{y_n}{b_n} +\sqrt{3}.<br />
\]

Z wzoru (1) wynika, że $ b_n \geq 1 $, a z wzoru (2) - że $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} y_n = 0 $. Stąd wobec (3)

\[<br />
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \sqrt{3}.<br />
\]

Sposób II.

Liczby $ a_n $ i $ b_n $ można wyrazić jawnymi wzorami

\[<br />
a_n = \frac{1}{2} ((2+\sqrt{3})^n+ (2- \sqrt{3} )^n),\    b_n = \frac{1}{2 \sqrt{3}}((2+ \sqrt{3} )^n- (2- \sqrt{3})^n),<br />
\]

wynikającymi przez łatwą indukcję z rekurencyjnych formuł (1).

Wobec tego

\[<br />
\frac{a_n}{b_n} = \sqrt{3} \cdot \frac{1+(2-\sqrt{3})^n (2+ \sqrt{3})^{-n}}{     1-(2-\sqrt{3})^n (2+ \sqrt{3})^{-n}},<br />
\]

a to wyrażenie dąży do $ \sqrt{3} $ przy $ n \to \infty $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź